Гамма-распределение

Обзор

Гамма-распределение представляет собой двухпараметрическое семейство кривых. Гамма-распределение моделирует суммы экспоненциально распределенных случайных величин и обобщает как хи-квадратное, так и экспоненциальное распределения.

Toolbox™ статистики и машинного обучения предлагает несколько способов работы с гамма-распределением.

Создание объекта распределения вероятностей GammaDistribution подгонкой распределения вероятности к данным выборки (fitdistили путем указания значений параметров (makedist). Затем используйте объектные функции для вычисления распределения, генерации случайных чисел и т. д.
Работа с гамма-дистрибутивом в интерактивном режиме с помощью приложения Distribution Fitter. Можно экспортировать объект из приложения и использовать функции объекта.
Использовать специфичные для распределения функции (gamcdf, gampdf, gaminv, gamlike, gamstat, gamfit, gamrnd, randg) с указанными параметрами распределения. Специфичные для распределения функции могут принимать параметры множества гамма-распределений.
Использовать общие функции распределения (cdf, icdf, pdf, random) с указанным именем дистрибутива ('Gamma') и параметры.

Параметры

Гамма-распределение использует следующие параметры.

Параметр	Описание	Поддержка
`a`	Форма	a `> 0`
`b`	Масштаб	b `> 0`

Стандартное гамма-распределение имеет единичный масштаб.

Сумма двух гамма-случайных величин с параметрами формы a1 и a2 и с параметром шкалы b является гамма-случайной величиной с параметром формы a = a1 + a2 и параметром шкалы b.

Оценка параметров

Функция правдоподобия - это функция плотности вероятности (pdf), рассматриваемая как функция параметров. Оценки максимального правдоподобия (MLE) - это оценки параметров, которые максимизируют функцию правдоподобия для фиксированных значений x.

Максимальными оценщиками правдоподобия а и b для гамма-распределения являются решения одновременных уравнений

$\begin{matrix} \overset{}{loga}^- (\overset{a}{}^) \overset{=}{} {_{\log (}^{x}_{sw} /}^{(} \\ \overset{}{} \frac{\overset{\prodi=1nxi}{}}{\overset{}{)}} \end{matrix}$ 1/n) b ^ = x sw a ^

где $\overset{}{x}$ - среднее значение выборки для выборки _x1, _x2,..., xn,, и, в качестве функции digamma psi.

Чтобы подогнать гамма-распределение к данным и найти оценки параметров, используйте gamfit, fitdist, или mle. В отличие от этого, gamfit и mle, которые возвращают оценки параметров, fitdist возвращает аппроксимированный объект распределения вероятности GammaDistribution. Свойства объекта a и b сохранить оценки параметров.

Пример см. в разделе Соответствие гамма-распределения данным.

Функция плотности вероятности

Pdf гамма-дистрибутива:

$y = f (x 'a, \frac{}{b^{)} =}^{1baΓ} (^{\frac{a)}{}}$ xa − 1e − xb,

где Γ (·) - гамма-функция.

Пример см. в разделе Расчет гамма-распределения pdf.

Функция совокупного распределения

Кумулятивная функция распределения (cdf) гамма-распределения

$p = F (x 'a, \frac{}{b^{)} =}_{}^{1baΓ}^{(a)}^{\frac{}{}}$ ∫0xta−1e−tbdt.

Результатом p является вероятность того, что единственное наблюдение из гамма-распределения с параметрами a и b падает в интервале [0 x].

Пример см. в разделе Compute Gamma Distribution cdf.

Гамма cdf связана с неполной гамма-функцией gammainc около

$f (x 'a, b) = \frac{}{} gammainc ($ xb, a).

Функция обратного кумулятивного распределения

Обратная кумулятивная функция распределения (icdf) гамма-распределения в терминах гамма-cdf равна

$x =^{F} - 1 (p 'a, b) = {x : F ($ x' a, b) = p},

где

$p = F (x 'a, \frac{}{b^{)} =}_{}^{1baΓ}^{(a)}^{\frac{}{}}$ ∫0xta−1e−tbdt.

Результатом x является такое значение, что наблюдение из гамма-распределения с параметрами a и b попадает в диапазон [0 x] с вероятностью p.

Предшествующее интегральное уравнение не имеет известного аналитического решения. gaminv использует итеративный подход (метод Ньютона), чтобы сойтись в решении.

Описательная статистика

Среднее значение гамма-распределения - ab.

Дисперсия гамма-распределения равна ab2.

Примеры

Соответствие гамма-распределения данным

Открыть сценарий в реальном времени

Создать образец 100 гамма-случайные числа с формой 3 и масштаб 5.

x = gamrnd(3,5,100,1);

Подгонка гамма-распределения к данным с помощью fitdist.

pd = fitdist(x,'gamma')

pd = 
  GammaDistribution

  Gamma distribution
    a =  2.7783   [2.1374, 3.61137]
    b = 5.73438   [4.30198, 7.64372]

fitdist возвращает GammaDistribution объект. Интервалы рядом с оценками параметров являются 95% доверительными интервалами для параметров распределения.

Оценка параметров a и b с использованием функций распределения.

[muhat,muci] = gamfit(x) % Distribution specific function

muhat = 1×2

    2.7783    5.7344

muci = 2×2

    2.1374    4.3020
    3.6114    7.6437

[muhat2,muci2] = mle(x,'distribution','gamma') % Generic function

muhat2 = 1×2

    2.7783    5.7344

muci2 = 2×2

    2.1374    4.3020
    3.6114    7.6437

Расчетный гамма-дистрибутив pdf

Открыть сценарий в реальном времени

Вычислите pdfs гамма-распределения с несколькими параметрами формы и масштаба.

x = 0:0.1:50;
y1 = gampdf(x,1,10);
y2 = gampdf(x,3,5);
y3 = gampdf(x,6,4);

Постройте график pdfs.

figure;
plot(x,y1)
hold on
plot(x,y2)
plot(x,y3)
hold off
xlabel('Observation')
ylabel('Probability Density')
legend('a = 1, b = 10','a = 3, b = 5','a = 6, b = 4')

Figure contains an axes. The axes contains 3 objects of type line. These objects represent a = 1, b = 10, a = 3, b = 5, a = 6, b = 4.

Вычислительный гамма-дистрибутив cdf

Открыть сценарий в реальном времени

Вычислите cdfs гамма-распределения с несколькими параметрами формы и масштаба.

x = 0:0.1:50;
y1 = gamcdf(x,1,10);
y2 = gamcdf(x,3,5);
y3 = gamcdf(x,6,4);

Постройте график cdfs.

figure;
plot(x,y1)
hold on
plot(x,y2)
plot(x,y3)
hold off
xlabel('Observation')
ylabel('Cumulative Probability')
legend('a = 1, b = 10','a = 3, b = 5','a = 6, b = 4',"Location","northwest")

Figure contains an axes. The axes contains 3 objects of type line. These objects represent a = 1, b = 10, a = 3, b = 5, a = 6, b = 4.

Сравнение PDFS гаммы и нормального распределения

Открыть сценарий в реальном времени

Гамма-распределение имеет параметр формы $а$ и параметр масштаба $b$ . Для большого $а$ гамма-распределение близко аппроксимирует нормальное распределение со средним $λ =$ ab и ${дисперсией}^{} λ 2^{=}$ ab2.

Вычисление pdf гамма-распределения с параметрами a = 100 и b = 5.

a = 100;
b = 5;
x = 250:750;
y_gam = gampdf(x,a,b);

Для сравнения вычислите среднее значение, стандартное отклонение и pdf нормального распределения, которое приближается к гамма.

mu = a*b

mu = 500

sigma = sqrt(a*b^2)

sigma = 50

y_norm = normpdf(x,mu,sigma);

Постройте график pdfs гамма-распределения и нормального распределения на том же рисунке.

plot(x,y_gam,'-',x,y_norm,'-.')
title('Gamma and Normal pdfs')
xlabel('Observation')
ylabel('Probability Density')
legend('Gamma Distribution','Normal Distribution')

Figure contains an axes. The axes with title Gamma and Normal pdfs contains 2 objects of type line. These objects represent Gamma Distribution, Normal Distribution.

Pdf нормального распределения аппроксимирует pdf гамма-распределения.

Связанные распределения

Бета-распределение - бета-распределение является двухпараметрическим непрерывным распределением, которое имеет параметры a (первый параметр формы) и b (второй параметр формы). Если X1 и X2 имеют стандартные гамма-распределения с параметрами формы a1 и a2 соответственно, то $Y \frac{=_{}}{_{} X1X1_{}}$ + X2 имеет бета-распределение с параметрами формы a1 _и a2.
Распределение хи-квадрат (Chi-Square Distribution) - распределение хи-квадрат является однопараметрическим непрерывным распределением, которое имеет параметр (степени свободы). Хи-квадратное распределение равно гамма-распределению с 2a =, а b = 2.
Экспоненциальное распределение (Exponential Distribution) - экспоненциальное распределение является однопараметрическим непрерывным распределением, имеющим параметр (mean). Экспоненциальное распределение равно гамма-распределению при a = 1 и b = λ. Сумма k экспоненциально распределенных случайных величин со средним λ - гамма-распределение с параметрами a = k и λ = b.
Распределение Накагами (Nakagami Distribution) - распределение Накагами (Nakagami) является двухпараметрическим непрерывным распределением с параметром f и scale. Если x имеет распределение Накагами, то x2 имеет гамма-распределение с a = λ и ab = λ.
Нормальное распределение (Normal Distribution) - нормальное распределение является двухпараметрическим непрерывным распределением, которое имеет параметры (среднее) и (стандартное отклонение). Когда а велико, гамма-распределение близко аппроксимирует нормальное распределение с λ = ab и ^{λ 2} = ab2. Пример см. в разделе Сравнение pdfs гаммы и нормального распределения.

Ссылки

[1] Абрамовиц, Милтон и Ирен А. Стегун, эд. Справочник по математическим функциям: с формулами, графиками и математическими таблицами. 9. Dover print.; [Начдр. дер Аусг. фон 1972]. Dover Books по математике. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Dover Publ, 2013.

[2] Эванс, Мерран, Николас Гастингс и Брайан Пикок. Статистические распределения. 2-й ред. Нью-Йорк: Дж. Уайли, 1993.

[3] Хан, Джеральд Дж., и Сэмюэл С. Шапиро. Статистические модели в инженерии. Библиотека классики Уайли. Нью-Йорк: Уайли, 1994.

[4] Беззаконие, Джеральд Ф. Статистические модели и методы для данных о времени жизни. 2-я редакция серии Уайли по вероятности и статистике. Хобокен, N.J.: Wiley-Interscience, 2003.

[5] Микер, Уильям К. и Луис А. Эскобар. Статистические методы для данных о надежности. Серия Уайли по вероятности и статистике. Секция прикладной вероятности и статистики. Нью-Йорк: Уайли, 1998.

[6] Марсалья, Джордж и Вай Ван Цанг. «Простой метод генерации гамма-переменных». ACM Transactions on Mathematical Software 26, No 3 (01.09.2000): 363-72. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8643-8.

См. также

Документация