Распределение студентов

Обзор

Распределение Стьюдента представляет собой однопараметрическое семейство кривых. Это распределение обычно используется для проверки гипотезы относительно среднего значения популяции, когда стандартное отклонение популяции неизвестно.

Toolbox™ статистики и машинного обучения предлагает несколько способов работы с дистрибутивом Student.

Использовать специфичные для распределения функции (tcdf, tinv, tpdf, trnd, tstat) с указанными параметрами распределения. Специфичные для распределения функции могут принимать параметры нескольких распределений Стьюдента.
Использовать общие функции распределения (cdf, icdf, pdf, random) с указанным именем дистрибутива ('T') и параметры.

Параметры

В распределении Student's t используется следующий параметр.

Параметр	Описание	Поддержка
nu («ню»)	Степени свободы	ν `= 1, 2, 3,...`

Функция плотности вероятности

PDF дистрибутива Student's t

$y=f (x'ν) \frac{= \frac{Γ (}{ν} +}{12 \frac{)}{} Γ} \frac{}{\sqrt{}} \frac{}{{(ν2) \frac{^{}}{1νπ1}}^{\frac{}{}}}$ (1+x2ν) ν + 12,

где λ - степени свободы, а Γ (·) - Гамма-функция. Результатом y является вероятность наблюдения конкретного значения x из t-распределения Стьюдента с/s степенями свободы.

Пример см. в разделе Распределение t студента по расчету и печати в формате pdf.

Функция совокупного распределения

Cdf распределения Student's t является

$p=F (x'ν)_{= \int}^{-} \frac{\infty \frac{xΓ (}{ν} +}{12 \frac{)}{} Γ} \frac{}{\sqrt{}} \frac{}{{(ν2) \frac{^{}}{1νπ1}}^{\frac{}{}}} (1+t2ν)$ ν + 12dt,

где λ - степени свободы, а Γ (·) - Гамма-функция. Результатом p является вероятность того, что в интервале [- ∞, x] выпадает единственное наблюдение из распределения t со степенями свободы, выраженными в, t.

Пример см. в разделе Compute and Plot Student's t Distribution cdf.

Функция обратного кумулятивного распределения

t Обратная функция определяется в терминах t cdf Стьюдента как

$x =^{F} - 1 (p$ '

где

$p=F (x'ν)_{= \int}^{-} \frac{\infty \frac{xΓ (}{ν} +}{12 \frac{)}{} Γ} \frac{}{\sqrt{}} \frac{}{{(ν2) \frac{^{}}{1νπ1}}^{\frac{}{}}} (1+t2ν)$ ν + 12dt,

λ - степени свободы, а Γ (·) - Гамма-функция. Результат x является решением интегрального уравнения, где вы предоставляете вероятность p.

Пример см. в разделе ticdf программы Compute Student.

Описательная статистика

Среднее из t-распределения Стьюдента равно λ = 0 для степеней свободы Если startравно 1, то среднее значение не определено.

Различие t распределения Студента - $\frac{}{νν−2}$ для степеней свободы ν больше, чем 2. Если λ меньше или равно 2, то дисперсия не определена.

Примеры

Вычислить и построить график ученика `t` Дистрибутив pdf

Открыть сценарий в реальном времени

Вычислите pdf распределения Student's t со степенями свободы, равными 5, 10, и 50.

x = [-5:.1:5];
y1 = tpdf(x,5);
y2 = tpdf(x,10);
y3 = tpdf(x,50);

Печать pdf для всех трех вариантов nu на одной оси.

figure;
plot(x,y1,'Color','black','LineStyle','-')
hold on
plot(x,y2,'Color','red','LineStyle','-.')
plot(x,y3,'Color','blue','LineStyle','--')
xlabel('Observation')
ylabel('Probability Density')
legend({'nu = 5','nu = 10','nu = 50'})
hold off

Figure contains an axes. The axes contains 3 objects of type line. These objects represent nu = 5, nu = 10, nu = 50.

Вычислить и построить график ученика `t` Дистрибутив cdf

Открыть сценарий в реальном времени

Вычислите cdf распределения Student's t со степенями свободы, равными 5, 10, и 50.

x = [-5:.1:5];
y1 = tcdf(x,5);
y2 = tcdf(x,10);
y3 = tcdf(x,50);

Постройте график cdf для всех трех вариантов nu на одной оси.

figure;
plot(x,y1,'Color','black','LineStyle','-')
hold on
plot(x,y2,'Color','red','LineStyle','-.')
plot(x,y3,'Color','blue','LineStyle','--')
xlabel('Observation')
ylabel('Cumulative Probability')
legend({'nu = 5','nu = 10','nu = 50'})
hold off

Figure contains an axes. The axes contains 3 objects of type line. These objects represent nu = 5, nu = 10, nu = 50.

Вычислить Стьюдента t icdf

Открыть сценарий в реальном времени

Найдите 95-й процентиль распределения Student's с помощью 50 степени свободы.

p = .95;   
nu = 50;   
x = tinv(p,nu)

x = 1.6759

Сравнить студенческие `t` и нормальное распределение PDFS

Открыть сценарий в реальном времени

Распределение Стьюдента (Student's t) представляет собой семейство кривых, зависящих от одного параметра (степеней свободы). По мере приближения степеней свободы к бесконечности распределение t приближается к стандартному нормальному распределению.

Вычислите pdfs для распределения Student с помощью параметра nu = 5 и распределение Стьюдента с параметром nu = 15.

x = [-5:0.1:5];
y1 = tpdf(x,5);
y2 = tpdf(x,15);

Вычислите pdf для стандартного нормального распределения.

z = normpdf(x,0,1);

Постройте график t pdfs студента и стандартного обычного pdf на том же рисунке.

plot(x,y1,'-.',x,y2,'--',x,z,'-')
legend('Student''s t Distribution with \nu=5', ...
    'Student''s t Distribution with \nu=15', ...
    'Standard Normal Distribution','Location','best')
xlabel('Observation')
ylabel('Probability Density')
title('Student''s t and Standard Normal pdfs')

$Figure contains an axes. The axes with title Student's t and Standard Normal pdfs contains 3 objects of type line. These objects represent Student's t Distribution with \nu=5, Student's t Distribution with \nu=15, Standard Normal Distribution.$

Стандартный обычный pdf имеет более короткие хвосты, чем t pdfs студента.

Связанные распределения

Бета-распределение - бета-распределение является двухпараметрическим непрерывным распределением, которое имеет параметры a (первый параметр формы) и b (второй параметр формы). Если Y имеет t-распределение Стьюдента со степенями свободы, то $X \frac{=}{} \frac{12}{} \frac{+}{\sqrt{^{}}}$ 12Yν + Y2 имеет бета-распределение с параметрами формы a = Это соотношение используется для вычисления значений t cdf и обратных функций и для генерации t распределенных случайных чисел.
Распределение Коши - распределение Коши является двухпараметрическим непрерывным распределением с параметрами γ (масштаб) и δ (расположение). Это частный случай стабильного распределения с параметрами формы α = 1 и β = 0. Стандартное распределение Коши (единичная шкала и нулевое положение) - это распределение Стьюдента со степенями свободы, равными 1. Стандартное распределение Коши имеет неопределенное среднее и отклонение.
Пример см. в разделе Создание случайных чисел Коши с помощью t студента.
Распределение хи-квадрат (Chi-Square Distribution) - распределение хи-квадрат является однопараметрическим непрерывным распределением, которое имеет параметр (степени свободы). Если Z имеет стандартное нормальное распределение, а ti2 имеет распределение хи-квадрат со степенями свободы, то $t = \frac{}{\sqrt{^{} Zχ2/ν}}$ имеет распределение Стьюдента с степенями свободы
Нецентральное распределение t - нецентральное распределение t является двухпараметрическим непрерывным распределением, которое обобщает t распределение Стьюдента и имеет параметры (степени свободы) и δ (нецентральность). Установка δ = 0 дает распределение Стьюдента.
Нормальное распределение (Normal Distribution) - нормальное распределение представляет собой двухпараметрическое непрерывное распределение с параметрами λ (среднее значение) и (стандартное отклонение).
По мере приближения степеней свободы к бесконечности t-распределение Стьюдента приближается к стандартному нормальному распределению (нулевое среднее и единичное стандартное отклонение).
Пример см. в разделе Сравнение PDFS Student's t и Normal Distribution
Если x - это случайная выборка размера n из нормального распределения со средним λ, то статистика $t \frac{\overset{}{=} x -}{β \sqrt{}}$ s/n, $\overset{}{}$ где x - среднее значение выборки, а s - стандартное отклонение выборки, имеет распределение Стьюдента с n-1 степенями свободы.
Пример см. в разделе Compute Student's t Distribution cdf.
t Распределение местоположения-масштаба - Распределение местоположения-масштаба представляет собой трехпараметрическое непрерывное распределение с параметрами (среднее), (scale) и (shape). Если x имеет распределение по t-масштабу местоположения с параметрами («»), («») и («» «»), то $\frac{x -}{}$ «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «.» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» ««»

Ссылки

[1] Абрамовиц, Милтон и Ирен А. Стегун, эд. Справочник по математическим функциям: с формулами, графиками и математическими таблицами. 9. Dover print.; [Начдр. дер Аусг. фон 1972]. Dover Books по математике. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Dover Publ, 2013.

[2] Девройе, Люк. Генерация неоднородных случайных вариаций. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Спрингер Нью-Йорк, 1986. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8643-8

[3] Эванс, Мерран, Николас Гастингс и Брайан Пикок. Статистические распределения. 2-й ред. Нью-Йорк: Дж. Уайли, 1993.

[4] Крейсиг, Эрвин. Вводная математическая статистика: принципы и методы. Нью-Йорк: Уайли, 1970.

См. также

Документация