Логнормальное распределение

Обзор

Логнормальное распределение, иногда называемое распределением Гальтона - это распределение вероятностей, логарифм которого имеет нормальное распределение. Логнормальное распределение применимо, когда интересующее количество должно быть положительным, потому что log (x) существует только, когда x является положительным.

Toolbox™ статистики и машинного обучения предлагает несколько способов работы с логнормальным распределением.

Создание объекта распределения вероятностей LognormalDistribution подгонкой распределения вероятности к данным выборки (fitdistили путем указания значений параметров (makedist). Затем используйте объектные функции для вычисления распределения, генерации случайных чисел и т. д.
Работа с логнормальным дистрибутивом в интерактивном режиме с помощью приложения Distribution Fitter. Можно экспортировать объект из приложения и использовать функции объекта.
Использовать специфичные для распределения функции (logncdf, lognpdf, logninv, lognlike, lognstat, lognfit, lognrnd) с указанными параметрами распределения. Специфичные для распределения функции могут принимать параметры нескольких логнормальных распределений.
Использовать общие функции распределения (cdf, icdf, pdf, random) с указанным именем дистрибутива ('Lognormal') и параметры.

Параметры

Логнормальное распределение использует эти параметры.

Параметр	Описание	Поддержка
`mu` (μ)	Среднее логарифмических значений	$−∞<μ<∞$
`sigma` (σ)	Стандартное отклонение логарифмических значений	$σ≥0$

Если X следует за логнормальным распределением с параметрами λ и, то log (X) следует за нормальным распределением со средним λ и среднеквадратическим отклонением

Оценка параметров

Чтобы подогнать логнормальное распределение к данным и найти оценки параметров, используйте lognfit, fitdist, или mle.

Для данных без цензуры, lognfit и fitdist найти несмещенные оценки параметров распределения, и mle находит оценки максимального правдоподобия.
Для данных, подвергнутых цензуре, lognfit, fitdist, и mle найти оценки максимального правдоподобия.

В отличие от этого, lognfit и mle, которые возвращают оценки параметров, fitdist возвращает аппроксимированный объект распределения вероятности LognormalDistribution. Свойства объекта mu и sigma сохранить оценки параметров.

Описательная статистика

Средний m и различие v логарифмически нормальной случайной переменной являются функциями логарифмически нормальных параметров распределения µ и σ:

$\begin{array}{l} m=exp (μ^{} +σ2/2 \\ ) v=exp (^{2μ} +σ2) (^{} exp \end{array}$ (σ2) −1)

Кроме того, Вы можете вычислить логарифмически нормальные параметры распределения µ и σ от среднего m и различия v:

$\begin{array}{l} λ = \log^{} (\sqrt{^{м2/v}} \\ + \sqrt{м2) λ =^{} log} \end{array}$ (v/m2 + 1)

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности (pdf) логнормального распределения

$y = f (x 'λ, \frac{}{λ) \sqrt{=}} \frac{{1xstart2íexp {-}^{(}}{^{}} logx − λ) 22start2$ }, для x > 0.

Пример см. в разделе Расчет логнормального распределения pdf.

Функция совокупного распределения

Кумулятивная функция распределения (cdf) логнормального распределения

$p = F (x 'λ, \frac{}{λ \sqrt{)}}_{}^{} \frac{}{} \frac{{=1σ2π∫0x1texp{− (}^{}}{{logt}^{}} - λ) 22start2} дт$ , для x > 0.

Пример см. в разделе Compute Lognormal Distribution cdf.

Примеры

Вычислить логнормальное распределение pdf

Открыть сценарий в реальном времени

Предположим, что доход семьи из четырех человек в США следует логнормальному распределению с mu = log(20,000) и sigma = 1. Вычислите и постройте график плотности дохода.

Создайте логнормальный объект распределения, указав значения параметров.

pd = makedist('Lognormal','mu',log(20000),'sigma',1)

pd = 
  LognormalDistribution

  Lognormal distribution
       mu = 9.90349
    sigma =       1

Вычислите значения pdf.

x = (10:1000:125010)';
y = pdf(pd,x);

Постройте график pdf.

plot(x,y)
h = gca;
h.XTick = [0 30000 60000 90000 120000];
h.XTickLabel = {'0','$30,000','$60,000',...
                    '$90,000','$120,000'};

Figure contains an axes. The axes contains an object of type line.

Вычислить логнормальное распределение cdf

Открыть сценарий в реальном времени

Вычислите значения cdf, вычисленные по значениям в x для логнормального распределения со средним mu и стандартное отклонение sigma.

x = 0:0.2:10;
mu = 0;
sigma = 1;
p = logncdf(x,mu,sigma);

Постройте график cdf.

plot(x,p)
grid on
xlabel('x')
ylabel('p')

Figure contains an axes. The axes contains an object of type line.

Взаимосвязь между нормальным и логнормальным распределением

Открыть сценарий в реальном времени

Если X следует за логнормальным распределением с параметрами λ и, то log (X) следует за нормальным распределением со средним λ и среднеквадратическим отклонением Используйте объекты распределения для проверки взаимосвязи между нормальным и логнормальным распределением.

Создайте логнормальный объект распределения, указав значения параметров.

pd = makedist('Lognormal','mu',5,'sigma',2)

pd = 
  LognormalDistribution

  Lognormal distribution
       mu = 5
    sigma = 2

Вычислите среднее значение логнормального распределения.

mean(pd)

ans = 1.0966e+03

Среднее логнормального распределения не равно mu параметр. Среднее логарифмических значений равно mu. Подтвердите эту связь, сгенерировав случайные числа.

Создайте случайные числа из логнормального распределения и вычислите их логарифмические значения.

rng('default');  % For reproducibility
x = random(pd,10000,1);
logx = log(x);

Вычислите среднее логарифмических значений.

m = mean(logx)

m = 5.0033

Среднее значение журнала регистрации x близок к mu параметр x, потому что x имеет логнормальное распределение.

Построение гистограммы logx с нормальным распределением.

histfit(logx)

Figure contains an axes. The axes contains 2 objects of type bar, line.

На графике показано, что логарифмические значения x обычно распределяются.

histfit использование fitdist для соответствия распределения данным. Использовать fitdist получение параметров, используемых в фитинге.

pd_normal = fitdist(logx,'Normal')

pd_normal = 
  NormalDistribution

  Normal distribution
       mu = 5.00332   [4.96445, 5.04219]
    sigma = 1.98296   [1.95585, 2.01083]

Расчетные нормальные параметры распределения близки к логнормальным параметрам распределения 5 и 2.

Сравнение Lognormal и Burr Distribution pdfs

Открыть сценарий в реальном времени

Сравните логнормальный pdf с беррским pdf, используя данные о доходах, полученные из логнормального распределения.

Создайте данные о доходах.

rng('default') % For reproducibility
y = random('Lognormal',log(25000),0.65,[500,1]);

Подогнать дистрибутив Бёрра.

pd = fitdist(y,'burr')

pd = 
  BurrDistribution

  Burr distribution
    alpha = 26007.2   [21165.5, 31956.4]
        c = 2.63743   [2.3053, 3.0174]
        k = 1.09658   [0.775479, 1.55064]

Постройте график как Burr, так и lognormal pdfs данных о доходах на одной и той же фигуре.

p_burr = pdf(pd,sortrows(y));
p_lognormal = pdf('Lognormal',sortrows(y),log(25000),0.65);
plot(sortrows(y),p_burr,'-',sortrows(y),p_lognormal,'-.')
title('Burr and Lognormal pdfs Fit to Income Data')
legend('Burr Distribution','Lognormal Distribution')

Figure contains an axes. The axes with title Burr and Lognormal pdfs Fit to Income Data contains 2 objects of type line. These objects represent Burr Distribution, Lognormal Distribution.

Связанные распределения

Нормальное распределение - логнормальное распределение тесно связано с нормальным распределением. Если X распределяется логнормально с параметрами λ и λ, то log (x) распределяется нормально со средним λ и стандартным отклонением λ. См. раздел Взаимосвязь между нормальным и логнормальным распределениями.
Распределение Burr типа XII - Распределение Burr представляет собой гибкое семейство распределения, которое может выражать широкий спектр форм распределения. Он имеет в качестве ограничивающего случая многие обычно используемые распределения, такие как гамма, логнормальные, логогистические, колоколообразные и J-образные бета-распределения (но не U-образные). См. раздел Сравнение файлов распределения Lognormal и Burr.

Ссылки

[1] Абрамовиц, Милтон и Ирен А. Стегун, эд. Справочник по математическим функциям: с формулами, графиками и математическими таблицами. 9. Dover print.; [Начдр. дер Аусг. фон 1972]. Dover Books по математике. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Dover Publ, 2013.

[2] Эванс, М., Н. Гастингс и Б. Павлин. Статистические распределения. 2-е изд., Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons, Inc., 1993.

[3] Беззаконие, J.F. Статистические модели и методы для данных о сроке службы. Хобокен, Нью-Джерси: Wiley-Interscience, 1982.

[4] Марсалья, Г. и В. В. Цанг. «Быстрый, легко реализуемый метод выборки из убывающих или симметричных функций унимодальной плотности». Журнал СИАМ по научным и статистическим вычислениям. Том 5, номер 2, 1984, стр. 349-359.

[5] Микер, В. К. и Л. А. Эскобар. Статистические методы для данных о надежности. Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons, Inc., 1998.

[6] Настроение, А. М., Ф. А. Грейбилл и Д. К. Боэс. Введение в теорию статистики. 3-е изд., Нью-Йорк: Макгро-Хилл, 1974. стр 540–541.

См. также

Документация