Чтобы решить алгебраическое уравнение Риккати ${\mathit{A}}^{\mathit{T}}\mathit{X}+\mathrm{XA}-\mathrm{XB}{\mathit{B}}^{\mathit{T}}\mathit{X}+\mathit{C}{\mathit{C}}^{\mathit{T}}=0$, примите во внимание следующие матрицы:

Подход с наименьшими усилиями состоит в том, чтобы использовать $\mathit{G}=-\mathit{B}{\mathit{B}}^{\mathit{T}}$ и $\mathit{Q}={\mathit{C}}^{\mathit{T}}\mathit{C}$, а затем найти решение используя icare.

A = [-1,2,3;4,5,-6;7,-8,9];
B = [5;6;-7];
C = [7,-8,9];
G = -B*B';
Q = C'*C;
[X1,K1,L1] = icare(A,[],Q,[],[],[],G)

X1 = 3×3

   15.3201    4.2369   17.0090
    4.2369    2.6252    4.4123
   17.0090    4.4123   19.0374

K1 =

  0x3 empty double matrix

L1 = 3×1

   -3.2139
  -10.1191
  -76.9693

Вышеописанный подход может привести к численным неточностям, когда матрицы B и C имеют большие значения, поскольку они квадратурные для вычисления G и Q матрицы. Из-за ограниченной числовой области значений расчет может быть менее точным или даже неудачным. Для примера, если norm(B) является 1e6, затем norm(G) является 1e12, и любое собственное значение в 1e-4 мнимой оси может быть диагностирована как 'мнимая' из-за числовых ошибок.

Для большей численной точности переписайте алгебраическое уравнение Риккати следующим образом:

${\mathit{A}}^{\mathit{T}}\mathit{X}+\mathrm{XA}–[\mathrm{XB},{\mathit{C}}^{\mathit{T}}]*[I,0;0,-I][{\mathit{B}}^{\mathit{T}}\mathit{X};C]=0$.

Вышеприведенное уравнение является стандартной формой ${\mathit{A}}^{\mathit{T}}\mathit{X}+\mathrm{XA}-(\mathrm{XB}+S){\mathit{R}}^{-1}(B^{\mathit{T}}\mathit{X}+S^{\mathit{T}})=0$,

где $\mathit{B}=\left[\mathit{B},\mathrm{0}\right],\mathit{S}=\left[0,{\mathit{C}}^{\mathit{T}}\right],\mathrm{and}\mathit{R}=\left[\mathit{I},0;0,-\mathit{I}\right]$.

Вычислите решение с помощью icare с указанными выше значениями.

n = size(A,1);
m = size(B,2);
p = size(C,1);
R = blkdiag(eye(m),-eye(p));
BB = [B,zeros(n,p)];
S = [zeros(n,m),C'];
[X2,K2,L2,info] = icare(A,BB,0,R,S,[],[])

X2 = 3×3

   15.3201    4.2369   17.0090
    4.2369    2.6252    4.4123
   17.0090    4.4123   19.0374

K2 = 2×3

  -17.0406    6.0501  -21.7435
   -7.0000    8.0000   -9.0000

L2 = 3×1

   -3.2139
  -10.1191
  -76.9693

info = struct with fields:
        Sx: [3x1 double]
        Sr: [2x1 double]
         U: [3x3 double]
         V: [3x3 double]
         W: [2x3 double]
    Report: 0

Здесь, X2 является уникальным стабилизирующим решением, K2 содержит коэффициент усиления и L2 обратной связи содержит собственные значения замкнутой системы.

Чтобы найти антистабилизирующее решение алгебраического уравнения Риккати в непрерывном времени ${\mathit{A}}^{\mathit{T}}\mathit{X}+\mathrm{XA}-\mathrm{XB}{\mathit{B}}^{\mathit{T}}\mathit{X}+\mathit{C}{\mathit{C}}^{\mathit{T}}=0$, примите во внимание следующие матрицы:

Для большей численной точности переписайте алгебраическое уравнение Риккати следующим образом:

${\mathit{A}}^{\mathit{T}}\mathit{X}+\mathrm{XA}–[\mathrm{XB},{\mathit{C}}^{\mathit{T}}]*[I,0;0,-I][{\mathit{B}}^{\mathit{T}}\mathit{X};C]=0$.

Вышеприведенное уравнение является стандартной формой ${\mathit{A}}^{\mathit{T}}\mathit{X}+\mathrm{XA}-(\mathrm{XB}+S){\mathit{R}}^{-1}(B^{\mathit{T}}\mathit{X}+S^{\mathit{T}})=0$,

где $\mathit{B}=\left[\mathit{B},\mathrm{0}\right],\mathit{S}=\left[0,{\mathit{C}}^{\mathit{T}}\right],\mathrm{and}\mathit{R}=\left[\mathit{I},0;0,-\mathit{I}\right]$.

Вычислите антистабилизирующее решение с помощью 'anti' опция.

A = [-1,2,3;4,5,-6;7,-8,9];
B = [5;6;-7];
C = [7,-8,9];
n = size(A,1);
m = size(B,2);
p = size(C,1);
R = blkdiag(eye(m),-eye(p));
BB = [B,zeros(n,p)];
S = [zeros(n,m),C'];
[X,K,L] = icare(A,BB,0,R,S,[],[],'anti')

X = 3×3

  -18.0978   10.9090   -1.8466
   10.9090   -6.7195    1.4354
   -1.8466    1.4354   -0.9426

K = 2×3

  -12.1085    4.1803    5.9774
   -7.0000    8.0000   -9.0000

L = 3×1

   76.9693
   10.1191
    3.2139

Здесь, X является уникальным антистабилизирующим решением, K содержит коэффициент усиления и L обратной связи содержит собственные значения замкнутой системы.