lqg

Линейно-квадратичный-Гауссов (LQG) проект

Синтаксис

reg = lqg(sys,QXU,QWV) reg = lqg(sys,QXU,QWV,QI) reg = lqg(sys,QXU,QWV,QI,'1dof') reg = lqg(sys,QXU,QWV,QI,'2dof') reg = lqg(___,'current') [reg,info] = lqg(___)

Описание

reg = lqg(sys,QXU,QWV) вычисляет оптимальный линейно-квадратичный-Гауссов (LQG) регулятор reg заданную модель пространства состояний sys объекта и весовых матриц QXU и QWV. Динамический регулятор reg использует y измерений, чтобы сгенерировать u управляющего сигнала, который y регулирует вокруг нулевого значения. Используйте положительную обратную связь, чтобы подключить этот регулятор к выходному y объекта.

Регулятор LQG минимизирует функцию затрат

$J = E {\lim_{τ \to \infty} \frac{1}{τ} \int_{0}^{τ} [x^{T}, u^{T}] Q_{x u} [\begin{matrix} x \\ u \end{matrix}] d t}$

удовлетворяющее растительным уравнениям

$\begin{matrix} d x / d t = A x + B u + w \\ y = C x + D u + v \end{matrix}$

где w шума процесса и v шума измерения являются Гауссовыми белыми шумами с ковариацией:

$E ([\begin{matrix} w \\ v \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} w' & v' \end{matrix}]) = Q W V$

reg = lqg(sys,QXU,QWV,QI) использует командную r уставки и y измерений, чтобы сгенерировать u сигнала управления. reg имеет интегральное действие, чтобы убедиться, что y отслеживает команду r.

Сервоконтроллер LQG минимизирует функцию затрат

$J = E {\lim_{τ \to \infty} \frac{1}{τ} \int_{0}^{τ} ([x^{T}, u^{T}] Q_{x u} [\begin{matrix} x \\ u \end{matrix}] + x_{i}^{T} Q_{i} x_{i}) d t}$

где _xi является интегралом ошибки отслеживания r - y. Для систем MIMO r, y и _xi должны иметь одинаковую длину.

reg = lqg(sys,QXU,QWV,QI,'1dof') вычисляет сервопривод с одной степенью свободы контроллера который принимает e = r - y, а не [r; y] как вход.

reg = lqg(sys,QXU,QWV,QI,'2dof') эквивалентно LQG(sys,QXU,QWV,QI) и формирует сервоконтроллер с двумя степенями свободы, показанный ранее.

reg = lqg(___,'current') использует «текущую » Оценку состояния фильтра Калмана, который использует x [n | n] в качестве оценки состояния при вычислении регулятора LQG для системы дискретного времени.

[reg,info] = lqg(___) возвращает матрицы усиления контроллера и оценщика в структуре info для любого из предыдущих синтаксисов. Можно использовать коэффициент усиления контроллера и оценщика, чтобы, например, реализовать контроллер в форме наблюдателя. Для получения дополнительной информации см. «Алгоритмы».

Примеры

Линейно-квадратичный-Гауссов (LQG) регулятор и сервопривод Проектирования контроллера

Этот пример показывает, как спроектировать линейный регулятор квадратичного Гауссова (LQG), сервопривод LQG с одной степенью свободы и сервопривод LQG с двумя степенями свободы для следующей системы.

Объект имеет три состояния (x), два входа управления (u), три случайных входа (w), один выход (y), шум измерения для выхода (v) и следующее состояние и уравнения измерения.

$\begin{array}{l} \frac{d x}{d t} = A x + B u + w \\ y = C x + D u + v \end{array}$

где

$\begin{array}{l} A = [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}] B = [\begin{matrix} 0.3 & 1 \\ 0 & 1 \\ - 0.3 & 0.9 \end{matrix}] \\ C = [\begin{matrix} 1.9 & 1.3 & 1 \end{matrix}] D = [\begin{matrix} 0.53 & - 0.61 \end{matrix}] \end{array}$

Система имеет следующие данные о шуме ковариации:

$\begin{array}{l} Q_{n} = E (w w^{T}) = [\begin{matrix} 4 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \\ R_{n} = E (v v^{T}) = 0.7 \end{array}$

Для регулятора используйте следующую функцию затрат, чтобы определить компромисс между эффективностью регулирования и усилиями по управлению:

$J (u) = \int_{0}^{\infty} (0.1 x^{T} x + u^{T} [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}] u) d t$

Для контроллеров сервопривода используйте следующую функцию затрат, чтобы определить компромисс между эффективностью трекера и усилиями по управлению:

$J (u) = \int_{0}^{\infty} (0.1 x^{T} x + x_{i}^{2} + u^{T} [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}] u) d t$

Для проектирования контроллеров LQG для этой системы:

Создайте систему в пространстве состояний путем ввода следующего текста в Командном окне MATLAB:
```
A = [0 1 0;0 0 1;1 0 0];    
B = [0.3 1;0 1;-0.3 0.9];
C = [1.9 1.3 1];  
D = [0.53 -0.61];
sys = ss(A,B,C,D);
```

Задайте данные ковариации шума и матрицы взвешивания путем ввода следующих команд:

nx = 3;    %Number of states
ny = 1;    %Number of outputs
Qn = [4 2 0; 2 1 0; 0 0 1];
Rn = 0.7;
R = [1 0;0 2]
QXU = blkdiag(0.1*eye(nx),R);
QWV = blkdiag(Qn,Rn);
QI = eye(ny);

Сформировать регулятор LQG можно путем ввода следующей команды:

KLQG = lqg(sys,QXU,QWV)

Эта команда возвращает следующий регулятор LQG:

A = 
           x1_e    x2_e    x3_e
   x1_e  -6.212  -3.814  -4.136
   x2_e  -4.038  -3.196  -1.791
   x3_e  -1.418  -1.973  -1.766
 
B = 
             y1
   x1_e   2.365
   x2_e   1.432
   x3_e  0.7684
 
C = 
            x1_e       x2_e       x3_e
   u1   -0.02904  0.0008272     0.0303
   u2    -0.7147    -0.7115    -0.7132
 
D = 
       y1
   u1   0
   u2   0
 
Input groups:              
       Name        Channels
    Measurement       1    
                           
Output groups:             
      Name      Channels   
    Controls      1,2      
                           
Continuous-time model.

Сформируйте сервопривод LQG с одной степенью свободы контроллера путем ввода следующей команды:

KLQG1 = lqg(sys,QXU,QWV,QI,'1dof')

Эта команда возвращает следующие сервоприводы LQG контроллера:

A = 
           x1_e    x2_e    x3_e     xi1
   x1_e  -7.626  -5.068  -4.891  0.9018
   x2_e  -5.108  -4.146  -2.362  0.6762
   x3_e  -2.121  -2.604  -2.141  0.4088
   xi1        0       0       0       0
 
B = 
              e1
   x1_e   -2.365
   x2_e   -1.432
   x3_e  -0.7684
   xi1         1
 
C = 
          x1_e     x2_e     x3_e      xi1
   u1  -0.5388  -0.4173  -0.2481   0.5578
   u2   -1.492   -1.388   -1.131   0.5869
 
D = 
       e1
   u1   0
   u2   0
 
Input groups:           
    Name     Channels   
    Error       1       
                        
Output groups:          
      Name      Channels
    Controls      1,2   
                        
Continuous-time model.

Сформируйте сервопривод LQG с двух контроллеров свободы путем ввода следующей команды:

KLQG2 = lqg(sys,QXU,QWV,QI,'2dof')

Эта команда возвращает следующие сервоприводы LQG контроллера:

A = 
           x1_e    x2_e    x3_e     xi1
   x1_e  -7.626  -5.068  -4.891  0.9018
   x2_e  -5.108  -4.146  -2.362  0.6762
   x3_e  -2.121  -2.604  -2.141  0.4088
   xi1        0       0       0       0
 
B = 
             r1      y1
   x1_e       0   2.365
   x2_e       0   1.432
   x3_e       0  0.7684
   xi1        1      -1
 
C = 
          x1_e     x2_e     x3_e      xi1
   u1  -0.5388  -0.4173  -0.2481   0.5578
   u2   -1.492   -1.388   -1.131   0.5869
 
D = 
       r1  y1
   u1   0   0
   u2   0   0
 
Input groups:              
       Name        Channels
     Setpoint         1    
    Measurement       2    
                           
Output groups:             
      Name      Channels   
    Controls      1,2      
                           
Continuous-time model.

Совет

lqg может использоваться как для объектов непрерывного, так и дискретного времени. В дискретном времени, lqg использует x [n | n-1] в качестве оценки состояния по умолчанию. Чтобы использовать x [n | n] в качестве оценки состояния и вычислить оптимальный контроллер LQG, используйте 'current' входной параметр. Для получения дополнительной информации о оценщиках состояния смотрите kalman.
Для вычисления регулятора LQG, lqg использует команды lqr и kalman. Чтобы вычислить сервоконтроллер, lqg использует команды lqi и kalman.
Когда вы хотите большей гибкости для разработки регуляторов, вы можете использовать lqr, kalman, и lqgreg команды. Когда вы хотите большей гибкости для разработки контроллеров сервопривода, вы можете использовать lqi, kalman, и lqgtrack команды. Для получения дополнительной информации об использовании этих команд и о том, как решить, когда их использовать, смотрите Linear-Quadratic-Gaussian (LQG) Design for Regulation and Linear-Quadratic-Gaussian (LQG) Design of Servo Controlller with Integral Action.

Алгоритмы

Уравнения контроллера:

Для непрерывного времени:
$\begin{matrix} d x_{e} = A x_{e} + B u + L (y - C x_{e} - D u) \\ u = - K_{x} x_{e} - K_{i} x_{i} \end{matrix}$
Для дискретного времени:
$x [n + 1 | n] = A x [n | n - 1] + B u [n] + L (y [n] - C x [n | n - 1] - D u [n])$
- Задержка оценки:
  $u [n] = - K_{x} x [n | n - 1] - K_{i} x_{i} [n]$
- Оценка тока:
  $\begin{matrix} u [n] = - K_{x} x [n | n] - K_{i} x_{i} [n] - K_{w} w [n | n] \\ = - K_{x} x [n | n - 1] - K_{i} x_{i} [n] - (K_{x} M_{x} + K_{w} M_{w}) y_{i n n} [n] \end{matrix}$
  $y_{i n n} [n] = y [n] - C x [n | n - 1] - D u [n]$

Вот,

A, B, C и D являются матрицами пространства состояний регулятора LQG, reg.
_xi является интегралом ошибки отслеживания r - y.
_Kx, _Kw, _Ki, L, _Mx, и _Mw являются контроллером, и матрицы выгоды оценщика возвратились в info.

См. также

care | dare | kalman | lqi | lqr | lqry | ss

Представлено до R2006a

Документация

lqg