Симулируйте приблизительное решение диагонально-дрейфовых процессов GBM
Используйте функции симуляции GBM. Разделяемые модели GBM имеют две специфические функции симуляции:
Перегруженная функция симуляции Эйлера (simulate), предназначенный для оптимальной эффективности.
A simBySolution функция, которая обеспечивает приблизительное решение базового стохастического дифференциального уравнения, предназначенного для точности.
Загрузите Data_GlobalIdx2 набор данных и задайте модель SDE как в Представлении моделей рынка с использованием объектов SDE, и модель GBM как в Представлении моделей рынка с использованием объектов SDELD, CEV и GBM.
load Data_GlobalIdx2 prices = [Dataset.TSX Dataset.CAC Dataset.DAX ... Dataset.NIK Dataset.FTSE Dataset.SP]; returns = tick2ret(prices); nVariables = size(returns,2); expReturn = mean(returns); sigma = std(returns); correlation = corrcoef(returns); t = 0; X = 100; X = X(ones(nVariables,1)); F = @(t,X) diag(expReturn)* X; G = @(t,X) diag(X) * diag(sigma); SDE = sde(F, G, 'Correlation', ... correlation, 'StartState', X); GBM = gbm(diag(expReturn),diag(sigma), 'Correlation', ... correlation, 'StartState', X);
Чтобы проиллюстрировать преимущества эффективности перегруженной функции приближения Эйлера (simulate), увеличить количество испытаний до 10000.
nPeriods = 249; % # of simulated observations dt = 1; % time increment = 1 day rng(142857,'twister') [X,T] = simulate(GBM, nPeriods, 'DeltaTime', dt, ... 'nTrials', 10000); whos X
Name Size Bytes Class Attributes X 250x6x10000 120000000 double
Используя этот размер выборки, исследуйте терминальное распределение канадского TSX Composite, чтобы качественно проверить логнормальный символ данных.
histogram(squeeze(X(end,1,:)), 30), xlabel('Price'), ylabel('Frequency') title('Histogram of Prices after One Year: Canada (TSX Composite)')
Симулируйте 10 испытаний решения и постройте график первого испытания:
rng('default') [S,T] = simulate(SDE, nPeriods, 'DeltaTime', dt, 'nTrials', 10); rng('default') [X,T] = simBySolution(GBM, nPeriods,... 'DeltaTime', dt, 'nTrials', 10); subplot(2,1,1) plot(T, S(:,:,1)), xlabel('Trading Day'),ylabel('Price') title('1st Path of Multi-Dim Market Model:Euler Approximation') subplot(2,1,2) plot(T, X(:,:,1)), xlabel('Trading Day'),ylabel('Price') title('1st Path of Multi-Dim Market Model:Analytic Solution')
В этом примере все параметры являются константами и simBySolution Действительно ли выборка точного решения. Детали одного индекса для любого данного исследования показывают, что ценовые пути приближения Эйлера и точное решение близки, но не идентичны.
Следующий график иллюстрирует различие между этими двумя функциями:
subplot(1,1,1) plot(T, S(:,1,1) - X(:,1,1), 'blue'), grid('on') xlabel('Trading Day'), ylabel('Price Difference') title('Euler Approx Minus Exact Solution:Canada(TSX Composite)')
The simByEuler Приближение Эйлера буквально оценивает стохастическое дифференциальное уравнение непосредственно из уравнения движения для некоторого подходящего значения dt шаг времени. Это простое приближение страдает от ошибки дискретизации. Эта ошибка может быть объяснена расхождением между выбором шага dt и тем, что в теории является параметром непрерывного времени.
Приближение в дискретном времени улучшается следующим DeltaTime приближается к нулю. Функция Эйлера часто является наименее точным и наиболее общим доступным методом. Все модели, поставляемые в наборе симуляции, имеют simByEuler функция.
Напротив, simBySolution функция обеспечивает более точное описание базовой модели. Эта функция моделирует пути цен путем приближения решения разделяемых моделей в закрытой форме. В частности, он применяет подход Эйлера к трансформированному процессу, который в целом не является точным решением этого GBM модель. Это потому, что распределения вероятностей моделируемого и истинного векторов состояния идентичны только для кусочно-постоянных параметров.
Когда все параметры модели являются кусочно-постоянными в течение каждого периода наблюдения, моделируемый процесс точен для времени наблюдения, в которое дискретизируется вектор состояния. Поскольку все параметры являются константами в этом примере, simBySolution Действительно ли выборка точного решения.
Для примера того, как использовать simBySolution для оптимизации точности решений см. «Оптимизация точности: о точности решения и ошибке».
The simBySolution функция моделирует NTRIALS выборочные пути NVARS коррелированные переменные состояния, управляемые NBROWNS Брауновские источники риска NPERIODS последовательные периоды наблюдения, аппроксимирующие модели короткой скорости GBM в непрерывном времени приближения решения закрытой формы.
Рассмотрим разделяемую, векторно оцененную модель GBM вида:
где:
Xt является NVARS-by- 1 вектор состояний переменных процесса.
μ является NVARS-by- NVARS обобщенная ожидаемая мгновенная скорость возврата матрицы.
V является NVARS-by- NBROWNS мгновенная матрица скорости волатильности.
dWt является NBROWNS-by- 1 Брауновский вектор движения.
The simBySolution Функция симулирует вектор Xt состояния с помощью приближения решения закрытой формы диагонально-дрейфовых моделей.
При вычислении выражений simBySolution принимает, что все параметры модели являются кусочно-постоянными в течение каждого периода симуляции.
В целом это не является точным решением моделей, потому что распределения вероятностей моделируемого и истинного векторов состояния идентичны только для кусочно-постоянных параметров.
Когда параметры являются кусочно-постоянными в течение каждого периода наблюдения, моделируемый процесс точен для времени наблюдения, в которое Xt дискретизируется.
Гауссовы диффузионные модели, такие как hwv, разрешить отрицательные состояния. По умолчанию simBySolution ничего не препятствует отрицательным состояниям, и не гарантирует, что модель будет строго означающей обратное. Таким образом, модель может проявлять неустойчивый или взрывной рост.
[1] Аит-Сахалия, Яцин. «Проверка моделей спотового процента в непрерывном времени». Обзор финансовых исследований 9, № 2 (апрель 1996 года): 385-426.
[2] Аит-Сахалия, Яцин. «Плотности переходов для процентной ставки и других нелинейных диффузий». Журнал финансов 54, № 4 (август 1999): 1361-95.
[3] Глассерман, Пол. Методы Монте-Карло в финансовой инженерии. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 2004.
[4] Hull, John C. Опции, фьючерсы и другие производные. 7-е изд, Prentice Hall, 2009.
[5] Джонсон, Норман Ллойд, Самуэль Коц и Нараянасвами Балакришнан. Непрерывные одномерные распределения. 2nd ed. Серия Уайли в вероятностной и математической статистике. Нью-Йорк: Уайли, 1995.
[6] Shreve, Steven E. Stochastic Calculus for Finance. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 2004.
gbm | simByEuler | simBySolution | simulate
