Симулируйте многомерные стохастические дифференциальные уравнения (SDE)
[ моделирует Paths,Times,Z] = simulate(MDL)NTrials выборочные пути NVars коррелированные переменные состояния, управляемые NBrowns Брауновские источники риска NPeriods последовательные периоды наблюдения, аппроксимация стохастических процессов в непрерывном времени.
simulate принимает любой список входных параметров переменной длины, на которые ссылается метод симуляции или функция SDE.Simulation параметр требует или принимает. Этот входной список передается непосредственно в соответствующий метод симуляции SDE или пользовательскую функцию симуляции.
Рассмотрите европейскую опцию вызова для одного базового запаса. Эволюция цены этой акции определяется моделью Geometric Brownian Motion (GBM) с постоянными параметрами:
Примите следующие характеристики:
В настоящее время акции торгуются на уровне 105.
Акции не выплачивают дивидендов.
Волатильность акций составляет 30% годовых.
Цена опции доставки - 100.
Срок действия опции истекает через три месяца.
Барьер опции составляет 120.
Безрисковая ставка постоянна на уровне 5% годовых.
Цель состоит в том, чтобы симулировать различные пути ежедневных цен на акции и вычислить цену барьерной опции как нейтральную к риску выборку среднего значения дисконтированного терминала опции выплаты. Поскольку это опция барьера, необходимо также определить, пересекается ли барьер и когда.
Этот пример выполняет антитетическую выборку путем явной установки Antithetic флаг в true, а затем задает функцию обработки в конце периода, чтобы записать максимальные и конечные цены на акции по пути базиса.
Создайте модель GBM с помощью gbm.
barrier = 120; % barrier strike = 100; % exercise price rate = 0.05; % annualized risk-free rate sigma = 0.3; % annualized volatility nPeriods = 63; % 63 trading days dt = 1 / 252; % time increment = 252 days T = nPeriods * dt; % expiration time = 0.25 years obj = gbm(rate, sigma, 'StartState', 105);
Выполните маломасштабную симуляцию, которое явно возвращает два моделируемых пути.
rng('default') % make output reproducible [X, T] = obj.simBySolution(nPeriods, 'DeltaTime', dt, ... 'nTrials', 2, 'Antithetic', true);
Выполните антитетическую выборку так, чтобы все первичные и антитетические пути были моделированы и сохранены в последовательных совпадающих парах. Нечетные пути (1,3,5,...) соответствуют первичным гауссовым путям. Четные пути (2,4,6,...) являются совпадающими антитетическими путями каждой пары, выведенными отрицанием Гауссовых рисунков соответствующего первичного (нечетного) пути. Проверьте это, исследуя совпадающие пути первичной/антитетической пары.
plot(T, X(:,:,1), 'blue', T, X(:,:,2), 'red') xlabel('Time (Years)'), ylabel('Stock Price'), ... title('Antithetic Sampling') legend({'Primary Path' 'Antithetic Path'}, ... 'Location', 'Best')
Чтобы оценить европейскую барьерную опцию, задайте функцию обработки в конце периода, чтобы записать максимальные и конечные цены акций. Эта функция обработки доступна по времени и состоянию и реализована как вложенная функция с доступом к общей информации, которая позволяет вычислить цену опции и соответствующую стандартную ошибку. Для получения дополнительной информации об использовании функции обработки в конце периода, смотрите Ценообразование Опций.
Симулируйте 200 путей с помощью метода функции обработки.
rng('default') % make output reproducible barrier = 120; % barrier strike = 100; % exercise price rate = 0.05; % annualized risk-free rate sigma = 0.3; % annualized volatility nPeriods = 63; % 63 trading days dt = 1 / 252; % time increment = 252 days T = nPeriods * dt; % expiration time = 0.25 years obj = gbm(rate, sigma, 'StartState', 105); nPaths = 200; % # of paths = 100 sets of pairs f = Example_BarrierOption(nPeriods, nPaths); simulate(obj, nPeriods, 'DeltaTime' , dt, ... 'nTrials', nPaths, 'Antithetic', true, ... 'Processes', f.SaveMaxLast);
Приблизите цену опции с интервалом 95% доверия.
optionPrice = f.OptionPrice(strike, rate, barrier);
standardError = f.StandardError(strike, rate, barrier,...
true);
lowerBound = optionPrice - 1.96 * standardError;
upperBound = optionPrice + 1.96 * standardError;
displaySummary(optionPrice, standardError, lowerBound, upperBound); Up-and-In Barrier Option Price: 6.6572
Standard Error of Price: 0.7292
Confidence Interval Lower Bound: 5.2280
Confidence Interval Upper Bound: 8.0864
Служебная функция
function displaySummary(optionPrice, standardError, lowerBound, upperBound) fprintf(' Up-and-In Barrier Option Price: %8.4f\n', ... optionPrice); fprintf(' Standard Error of Price: %8.4f\n', ... standardError); fprintf(' Confidence Interval Lower Bound: %8.4f\n', ... lowerBound); fprintf(' Confidence Interval Upper Bound: %8.4f\n', ... upperBound); end
Эта функция описывает любой векторный SDE вида:
| (1) |
X является NVars -by- 1 вектор состояния переменных процесса (для примера, коротких ставок или цен на акции) для моделирования.
W является NBrowns -by- 1 Брауновский вектор движения.
F является NVars -by- 1 векторная функция скорости дрейфа.
G является NVars -by NBrowns матричной функцией скорости диффузии.
[1] Ait-Sahalia, Y. «Проверка моделей спотового процента в непрерывном времени». Обзор финансовых исследований, весна 1996 года, том 9, № 2, стр. 385-426.
[2] Ait-Sahalia, Y. «Переходные плотности для процентной ставки и других нелинейных диффузий». Финансовый журнал, том 54, № 4, август 1999 года.
[3] Glasserman, P. Monte Carlo Methods in Financial Engineering. Нью-Йорк, Springer-Verlag, 2004.
[4] Hull, J. C. Options, Futures, and Other Derivatives, 5 ed. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 2002.
[5] Джонсон, Н. Л., С. Коц и Н. Балакришнан. Непрерывные одномерные распределения. Vol. 2, 2nd ed. New York, John Wiley & Sons, 1995.
[6] Shreve, S. E. Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 2004.
bates | bm | cev | cir | gbm | heston | hwv | merton | sde | sdeddo | sdeld | sdemrd | simByEuler | simBySolution | simBySolution