Параметрические модели

Создание моделей Броуновского движения (BM)

Модель Броуновского движения (BM) (bm) происходит непосредственно от линейного дрейфа (sdeld) модель:

$d X_{t} = μ (t) d t + V (t) d W_{t}$

Пример: Модели BM

Создайте одномерное броуновское движение (bm) объект для представления модели с помощью bm:

$d X_{t} = 0.3 d W_{t} .$

obj = bm(0, 0.3) % (A = Mu, Sigma)

obj = 
   Class BM: Brownian Motion
   ----------------------------------------
     Dimensions: State = 1, Brownian = 1
   ----------------------------------------
      StartTime: 0
     StartState: 0
    Correlation: 1
          Drift: drift rate function F(t,X(t)) 
      Diffusion: diffusion rate function G(t,X(t)) 
     Simulation: simulation method/function simByEuler
             Mu: 0
          Sigma: 0.3

bm объекты отображают параметр A как более знакомый Mu.

The bm объект также предоставляет перегруженный метод симуляции Эйлера, который улучшает эффективность во время выполнения в некоторых распространенных ситуациях. Этот специализированный метод вызывается автоматически только при выполнении всех следующих условий:

Ожидаемый дрейф, или тренд, скорость Mu является вектор-столбец.
Коэффициент волатильности, Sigma, является матрицей.
Корректировки и/или процессы в конце периода не производятся.
Если задан, процесс случайного шума Z является трехмерным массивом.
Если Z не задан, принятая Гауссова корреляционная структура является двойной матрицей.

Создание моделей постоянной упругости отклонения (CEV)

Модель постоянной эластичности отклонения (CEV) (cev) также получают непосредственно от линейного дрейфа (sdeld) модель:

$d X_{t} = μ (t) X_{t} d t + D (t, X_{t}^{α (t)}) V (t) d W_{t}$

The cev Объект ограничивает A на NVars-by- 1 нулевой вектор. D - диагональная матрица, элементы которой являются соответствующим элементом вектора X состояний, повышенная до экспонентного α (t).

Пример: Одномерные модели CEV

Создайте одномерное cev объект для представления модели с помощью cev:

$d X_{t} = 0.25 X_{t} + 0.3 X_{t}^{\frac{1}{2}} d W_{t} .$

obj = cev(0.25, 0.5, 0.3) % (B = Return, Alpha, Sigma)

obj = 
   Class CEV: Constant Elasticity of Variance
   ------------------------------------------
     Dimensions: State = 1, Brownian = 1
   ------------------------------------------
      StartTime: 0
     StartState: 1
    Correlation: 1
          Drift: drift rate function F(t,X(t)) 
      Diffusion: diffusion rate function G(t,X(t)) 
     Simulation: simulation method/function simByEuler
         Return: 0.25
          Alpha: 0.5
          Sigma: 0.3

cev и gbm объекты отображают параметр B как более знакомый Return.

Создание геометрических моделей броунового движения (GBM)

Модель Геометрического Броуновского движения (GBM) (gbm) получают непосредственно из CEV (cev) модель:

$d X_{t} = μ (t) X_{t} d t + D (t, X_{t}) V (t) d W_{t}$

По сравнению с cev объект, a gbm объект ограничивает все элементы вектора экспоненты alpha таким образом, что D теперь является диагональной матрицей с вектором состояния, X вдоль основной диагонали.

The gbm объект также предоставляет два метода симуляции, которые могут использоваться разделяемыми моделями:

Перегруженный метод симуляции Эйлера, который улучшает эффективность во время выполнения в определенных распространенных ситуациях. Этот специализированный метод вызывается автоматически, только если все следующие условия верны:
- Ожидаемая норма возврата (Return) - диагональная матрица.
- Коэффициент волатильности (Sigma) является матрицей.
- Корректировки/процессы в конце периода не производятся.
- Если задан, процесс случайного шума Z является трехмерным массивом.
- Если Z не задан, принятая Гауссова корреляционная структура является двойной матрицей.
Приблизительное аналитическое решение (simBySolution), полученный применением подхода Эйлера к преобразованному (с использованием формулы Ито) логарифмическому процессу. В целом это не является точным решением этой модели GBM, так как распределения вероятностей моделируемого и истинного векторов состояния идентичны только для кусочно-постоянных параметров. Если параметры модели являются кусочно-постоянными в течение каждого периода наблюдения, вектор _Xt состояний распределяется lognormal, и моделируемый процесс является точным для времени наблюдения, в которое _Xt дискретизируется.

Пример: Одномерные модели GBM

Создайте одномерное gbm объект для представления модели с помощью gbm:

$d X_{t} = 0.25 X_{t} d t + 0.3 X_{t} d W_{t}$

obj = gbm(0.25, 0.3)  % (B = Return, Sigma)

obj = 
   Class GBM: Generalized Geometric Brownian Motion
   ------------------------------------------------
     Dimensions: State = 1, Brownian = 1
   ------------------------------------------------
      StartTime: 0
     StartState: 1
    Correlation: 1
          Drift: drift rate function F(t,X(t)) 
      Diffusion: diffusion rate function G(t,X(t)) 
     Simulation: simulation method/function simByEuler
         Return: 0.25
          Sigma: 0.3

Создание стохастических дифференциальных уравнений из моделей среднего обратного дрейфа (SDEMRD)

The sdemrd объект выводится непосредственно из sdeddo объект. Он предоставляет интерфейс, в котором функция скорости дрейфа выражена в форме дрейфа со средним возвращением:

$d X_{t} = S (t) [L (t) - X_{t}] d t + D (t, X_{t}^{α (t)}) V (t) d W_{t}$

sdemrd объекты обеспечивают параметрическую альтернативу форме линейного дрейфа путем репараметризации общего линейного дрейфа так, что:

$A (t) = S (t) L (t), B (t) = - S (t)$

Пример: Модели SDEMRD

Создайте sdemrd объект, использующий sdemrd с квадратным корнем экспонентом для представления модели:

$d X_{t} = 0.2 (0.1 - X_{t}) d t + 0.05 X_{t}^{\frac{1}{2}} d W_{t} .$

obj = sdemrd(0.2, 0.1, 0.5, 0.05)

obj = 
   Class SDEMRD: SDE with Mean-Reverting Drift
   -------------------------------------------
     Dimensions: State = 1, Brownian = 1
   -------------------------------------------
      StartTime: 0
     StartState: 1
    Correlation: 1
          Drift: drift rate function F(t,X(t)) 
      Diffusion: diffusion rate function G(t,X(t)) 
     Simulation: simulation method/function simByEuler
          Alpha: 0.5
          Sigma: 0.05
          Level: 0.1
          Speed: 0.2

    % (Speed, Level, Alpha, Sigma)

sdemrd объекты отображают знакомые Speed и Level параметры вместо A и B.

Создание моделей диффузии квадратного корня Кокса-Ингерсолла-Росса (CIR)

Объект короткой скорости Кокса-Ингерсолла-Росса (CIR), cir, выводится непосредственно из SDE со средним дрейфом (sdemrd) класс:

$d X_{t} = S (t) [L (t) - X_{t}] d t + D (t, X_{t}^{\frac{1}{2}}) V (t) d W_{t}$

где D - диагональная матрица, элементы которой являются квадратным корнем соответствующего элемента вектора состояний.

Пример: Модели CIR

Создайте cir объект, использующий cir для представления той же модели, что и в Примере: SDEMRD Модели:

obj = cir(0.2, 0.1, 0.05)  % (Speed, Level, Sigma)

obj = 
   Class CIR: Cox-Ingersoll-Ross
   ----------------------------------------
     Dimensions: State = 1, Brownian = 1
   ----------------------------------------
      StartTime: 0
     StartState: 1
    Correlation: 1
          Drift: drift rate function F(t,X(t)) 
      Diffusion: diffusion rate function G(t,X(t)) 
     Simulation: simulation method/function simByEuler
          Sigma: 0.05
          Level: 0.1
          Speed: 0.2

Несмотря на то, что последние два объекта имеют различные классы, они представляют одну и ту же математическую модель. Они отличаются тем, что вы создаете cir объект путем задания только трех входных параметров. Это различие подкрепляется тем, что Alpha параметр не отображается - он определяется как 1/2.

Создание Гауссовых диффузионных моделей Hull-White/Vasicek (HWV)

Объект малой скорости Hull-White/Vasicek (HWV), hwv, получают непосредственно из SDE со средним дрейфом (sdemrd) класс:

$d X_{t} = S (t) [L (t) - X_{t}] d t + V (t) d W_{t}$

Пример: Модели HWV

Используя те же параметры, что и в предыдущем примере, создайте hwv объект, использующий hwv для представления модели:

$d X_{t} = 0.2 (0.1 - X_{t}) d t + 0.05 d W_{t} .$

obj = hwv(0.2, 0.1, 0.05)  % (Speed, Level, Sigma)

obj = 
   Class HWV: Hull-White/Vasicek
   ----------------------------------------
     Dimensions: State = 1, Brownian = 1
   ----------------------------------------
      StartTime: 0
     StartState: 1
    Correlation: 1
          Drift: drift rate function F(t,X(t)) 
      Diffusion: diffusion rate function G(t,X(t)) 
     Simulation: simulation method/function simByEuler
          Sigma: 0.05
          Level: 0.1
          Speed: 0.2

cir и hwv совместно использовать тот же интерфейс и методы отображения. Единственное различие заключается в том, что cir и hwv объекты модели ограничивают Alpha экспоненты в 1/2 и 0, соответственно. Кроме того, hwv объект также предоставляет дополнительный метод, который моделирует приблизительные аналитические решения (simBySolution) разделяемых моделей. Этот метод моделирует векторное _Xt состояния с помощью приближения решения диагонального дрейфа в закрытой форме HWV модели. Каждый элемент вектора _Xt состояний выражается как сумма NBrowns коррелированные Гауссовы случайные рисунки, добавленные к детерминированному дрейфу переменной времени.

При оценке выражений все параметры модели принимаются кусочно-постоянными в течение каждого периода симуляции. В целом это не точное решение этой hwv модель, потому что распределения вероятностей моделируемого и истинного векторов состояния идентичны только для кусочно-постоянных параметров. Если _S(t,Xt), _L(t,Xt) и _V(t,Xt) являются кусочно-постоянными в течение каждого периода наблюдения, вектор _Xt состояния обычно распределяется, и моделируемый процесс является точным для времени наблюдения, в которое _Xt дискретизируется.

Модели Халл-Уайт и Васичек

Многие ссылки различают модели Vasicek и модели Hull-White. Там, где такие различия сделаны, параметры Васичека ограничены постоянными, в то время как параметры Халла-Уайта изменяются детерминированно со временем. Представьте модели Васичека в этом контексте как модели Халла-Уайта с постоянными коэффициентами и, эквивалентно, модели Халла-Уайта как изменяющиеся во времени модели Васичека. Однако с архитектурной точки зрения различие между статическими и динамическими параметрами тривиально. Поскольку обе модели имеют ту же общую параметрическую спецификацию, что и ранее описанная, одна hwv объект охватывает модели.

Создание моделей стохастической волатильности Хестона

Хестон (heston) объекты получают непосредственно из SDE из дрейфа и диффузии (sdeddo) класс. Каждая модель Хестона является двухмерной композитной моделью, состоящей из двух связанных одномерных моделей:

d X_{1 t} = B (t) X_{1 t} d t + \sqrt{X_{2 t}} X_{1 t} d W_{1 t}

(1)

d X_{2 t} = S (t) [L (t) - X_{2 t}] d t + V (t) \sqrt{X_{2 t}} d W_{2 t}

(2)

Уравнение 1 обычно связано с ценовым процессом. Уравнение 2 представляет эволюцию отклонения ценового процесса. Модели типов heston обычно используются для ценообразования опций.

Пример: Модели Хестона

Создайте heston объект, использующий heston для представления модели:

$\begin{array}{l} d X_{1 t} = 0.1 X_{1 t} d t + \sqrt{X_{2 t}} X_{1 t} d W_{1 t} \\ d X_{2 t} = 0.2 [0.1 - X_{2 t}] d t + 0.05 \sqrt{X_{2 t}} d W_{2 t} \end{array}$

obj = heston (0.1, 0.2, 0.1, 0.05)

obj = 
   Class HESTON: Heston Bivariate Stochastic Volatility
   ----------------------------------------------------
     Dimensions: State = 2, Brownian = 2
   ----------------------------------------------------
      StartTime: 0
     StartState: 1 (2x1 double array) 
    Correlation: 2x2 diagonal double array 
          Drift: drift rate function F(t,X(t)) 
      Diffusion: diffusion rate function G(t,X(t)) 
     Simulation: simulation method/function simByEuler
         Return: 0.1
          Speed: 0.2
          Level: 0.1
     Volatility: 0.05

См. также

Документация