System identification - методика создания математических моделей динамических систем с помощью измерений входного и выходного сигналов системы.
Процесс системы идентификации требует, чтобы вы:
Измерьте входные и выходные сигналы от вашей системы во временных или частотных диапазонах.
Выберите структуру модели.
Примените метод оценки для оценки значений для регулируемых параметров в структуре модели кандидата.
Оцените предполагаемую модель, чтобы увидеть, является ли модель адекватной для ваших потребностей приложения.
В динамической системе значения выходных сигналов зависят как от мгновенных значений входных сигналов, так и от прошлого поведения системы. Например, автокресло является динамической системой - форма сиденья (установочное положение) зависит как от текущей массы пассажира (текущее значение), так и от того, как долго пассажир ехал в автомобиле (прошлое поведение).
A model является математическим отношением между входом и выходом переменными системы. Модели динамических систем обычно описываются дифференциальными или разностными уравнениями, передаточными функциями, уравнениями пространства состояний и моделями с нулевым усилением полюса.
Можно представлять динамические модели как в непрерывном времени, так и в дискретном времени.
Часто используемый пример динамической модели является уравнением движения системы пружина-масса-демпфер. Как показано на следующем рисунке, масса перемещается в ответ на силу F (t), приложенную к основе, к которому присоединена масса. Входами и выходами этой системы являются F силы (t) и y перемещения (t), соответственно.
Можно представлять ту же физическую систему, что и несколько эквивалентных моделей. Для примера можно представлять систему масса-пружина-демпфер за непрерывное время как дифференциальное уравнение второго порядка:
Здесь m - масса, k - константа жесткости пружины, а c - коэффициент демпфирования. Решение этого дифференциального уравнения позволяет вам определить перемещение массовой y (t), как функции от внешней силы F (t) в любой момент времени t для известных значений постоянных m, c и k.
Рассмотрим y перемещения (t) и скорость как переменные состояния:
Можно выразить предыдущее уравнение движения как модель системы в пространстве состояний:
Матрицы A, B, и C связаны с константами m, c, и k следующим образом:
Можно также получить transfer function model системы пружина-масса-демпфер, приняв преобразование Лапласа дифференциального уравнения:
Здесь s переменная Лапласа.
Предположим, что вы можете наблюдать только входную и выходную переменные F (t) и y (t) системы масса-пружина-демпфер в дискретные моменты времени t = n Ts, где Ts является фиксированным временным интервалом и n = 0, 1, 2,.... Говорят, что переменные дискретизированы с помощью шага расчета Ts. Затем можно представлять отношение между дискретизированными переменными ввода-вывода в качестве разностного уравнения второго порядка, такого как
Часто для простоты Ts принимается за один временной модуль, и уравнение может быть записано как
Здесь a1 и a2 являются параметрами модели. Параметры модели связаны с системными константами m, c и k, и временными Ts расчета.
Это разностное уравнение показывает динамическую природу модели. Значение перемещений в момент t зависит не только от значения силы, F в предыдущий момент времени, но и от значений перемещений в предыдущие два момента времени y (t-1) и y (t -2).
Можно использовать это уравнение, чтобы вычислить перемещение в определенное время. Перемещение представлено как взвешенная сумма прошлых входных и выходных значений:
Это уравнение показывает итерационный способ генерации значений выходного y (t), начиная с начальных условий y (0) и y (1) и измерений входного F (t). Этот расчет называется simulation.
В качестве альтернативы выходное значение в установленный временной t может быть вычислено с помощью измеренных значений выходного сигнала в предыдущие два временных момента и входного значения в предыдущий временной момент. Этот расчет называется prediction. Для получения дополнительной информации о симуляции и предсказании с использованием модели, смотрите темы на странице Simulation и Prediction.
Можно также представлять уравнение движения в дискретном времени в формах пространство состояний и передаточная функция путем выполнения преобразований, аналогичных тем, которые описаны в Примере Динамической Модели Непрерывного Времени.
Система идентификации использует входной и выходной сигналы, которые вы измеряете от системы, чтобы оценить значения регулируемых параметров в заданной структуре модели. Можно создавать модели с помощью входных-выходных сигналов во временной области, данных частотной характеристики, временных сигналов и спектров timeseries.
Чтобы получить хорошую модель вашей системы, вы должны иметь измеренные данные, которые отражают динамическое поведение системы. Точность вашей модели зависит от качества данных измерений, что, в свою очередь, зависит от вашего экспериментального проекта.
Данные во временной области состоят из входных и выходных переменных системы, которые вы записываете с равномерным интервалом дискретизации в течение периода времени.
Для примера, если вы измеряете вход F силы (t) и y перемещения массы (t) системы пружина-масса-демпфер, проиллюстрированные в Динамических Системах и Моделях с равномерной частотой дискретизации 10 Гц, то получаете следующие векторы измеренных значений:
Здесь Ts = 0,1 секунд и N Ts является временем последнего измерения.
Если вы хотите создать модель в дискретном времени из этих данных, векторы данных umeas и ymeas, и шаг расчета Ts предоставить достаточную информацию для создания такой модели.
Если вы хотите создать модель в непрерывном времени, вы также должны знать поведение интерсампов входных сигналов во время эксперимента. Для примера вход может быть кусочно-постоянным (удержание нулевого порядка) или кусочно-линейным (удержание первого порядка) между выборками.
Частотному диапазону данные представляют измерения системного входа и выхода переменных, которые вы записываете или храните в частотном диапазоне. Сигналы частотного диапазона являются преобразованиями Фурье соответствующих сигналов временной области.
Данные частотной области могут также представлять частотную характеристику системы, представленную набором комплексных значений отклика в заданной частотной области значений. Этот frequency response описывает выходы синусоидальных входов. Если вход является синусоидой с частотными ω, то выход также является синусоидой той же частоты, амплитуда которой A (ω) умножает амплитуду входного сигнала и сдвиг фазы в Частотная характеристика A (ω) e(iΦ(ω)).
В случае системы масса-пружина-демпфер можно получить данные частотной характеристики, используя синусоидальный вход силу и измерив соответствующий амплитудный коэффициент усиления и сдвиг фазы отклика на область значений входа частот.
Можно использовать данные частотного диапазона для создания моделей вашей системы как в дискретном времени, так и в непрерывном времени.
Система идентификации требует, чтобы ваши данные захватывали важную динамику вашей системы. Хороший экспериментальный проект гарантирует, что вы измеряете правильные переменные с достаточной точностью и длительностью, чтобы захватить динамику, которую вы хотите смоделировать. В целом ваш эксперимент должен:
Используйте входы, которые адекватно возбуждают динамику системы. Для примера одного шага редко бывает достаточно возбуждения.
Измерьте данные достаточно долго, чтобы захватить важные временные константы.
Установите систему сбора данных, которая имеет хорошее отношение сигнал/шум.
Измерьте данные в соответствующих интервалах дискретизации или частотном разрешении.
Можно анализировать качество данных перед построением модели с помощью функций и методов, описанных в Analyze Data. Для примера можно проанализировать вход спектры, чтобы определить, имеют ли входные сигналы достаточная степень по полосе пропускания системы. Чтобы получить рекомендации по анализу и обработке ваших конкретных данных, используйте advice.
Можно также анализировать данные, чтобы определить пиковые частоты, входные задержки, важные временные константы и индикацию нелинейности, используя непараметрические инструменты анализа в этом тулбоксе. Можно использовать эту информацию для конфигурации структур модели для создания моделей из данных. Для получения дополнительной информации смотрите:
model structure является математической зависимостью между входной и выходной переменными, которая содержит неизвестные параметры. Примерами структур модели являются передаточные функции с регулируемыми полюсами и нулями, уравнения пространства состояний с неизвестными матрицами систем и нелинейные параметризованные функции.
Следующее разностное уравнение представляет структуру простой модели:
Здесь a и b являются регулируемыми параметрами.
Процесс системы идентификации требует, чтобы вы выбрали структуру модели и применили методы оценки, чтобы определить числовые значения параметров модели.
Для выбора структуры модели можно использовать один из следующих подходов:
Вы хотите модель, которая способна воспроизвести ваши измеренные данные и максимально проста. Можно попробовать различные математические структуры, доступные в тулбоксе. Этот подход моделирования называется black-box моделированием.
Вам нужна определенная структура для вашей модели, которую вы могли бы вывести из первых принципов, но не знаете числовых значений ее параметров. Можно представить структуру модели как набор уравнений или как систему в пространстве состояний в MATLAB® и оценить значения его параметров по данным. Этот подход известен как grey-box моделирование.
Программное обеспечение System Identification Toolbox™ оценивает параметры модели путем минимизации ошибки между выходом модели и измеренного отклика. Выходная ymodel линейной модели задается как
y модели (t) = G u (t)
Здесь G является передаточной функцией.
Чтобы определить G, тулбокс минимизирует различие между выходным y модели (t) и измеренным выходом y meas (t). minimization criterion является взвешенной нормой ошибки, v (t), где
v (<reservedrangesplaceholder4>) = ymeas (<reservedrangesplaceholder2>) – ymodel (<reservedrangesplaceholder0>).
ymodel (t) является одним из следующих:
Симулированный отклик (G u (t) модели для заданного входного u (t)
Предсказанный ответ модели для заданного входного u (t) и прошлых измерений выхода (ymeas (t-1), ymeas (t-2),...)
Соответственно, v ошибки (t) называется simulation error или prediction error. Алгоритмы оценки регулируют параметры в структуре модели G так что норма этой ошибки настолько мала, насколько это возможно.
Вы можете сконфигурировать алгоритм оценки путем:
Конфигурирование критерия минимизации, чтобы фокусировать оценку в желаемой частотной области значений, например, чтобы сделать больший акцент на более низких частотах и деэмфазировать более высокие частотные шумовые вклады. Можно также сконфигурировать критерий, чтобы нацелить предполагаемые потребности приложения в модели, такие как симуляция или предсказание.
Задание опций оптимизации для итерационных алгоритмов оценки.
Большинство алгоритмов оценки в этом тулбоксе итеративны. Можно сконфигурировать итерационный алгоритм оценки путем определения опций, таких как метод оптимизации и максимальное количество итераций.
Для получения дополнительной информации о конфигурировании алгоритма оценки смотрите Опции для настройки функции потерь и темы для оценки определенных структур модели.
Моделирование черного ящика полезно, когда ваш основной интерес к подгонке данных независимо от конкретной математической структуры модели. Тулбокс обеспечивает несколько линейных и нелинейных структур модели черного ящика, которые традиционно были полезны для представления динамических систем. Эти структуры модели варьируются в сложности в зависимости от гибкости, которая вам нужна для учета динамики и шума в вашей системе. Можно выбрать одну из этих структур и вычислить ее параметры, чтобы соответствовать измеренному отклику данным.
Моделирование черного ящика обычно является процессом проб и ошибок, где вы оцениваете параметры различных структур и сравниваете результаты. Как правило, вы начинаете со структуры простой линейной модели и переходите к более сложным структурам. Вы также можете выбрать структуру модели, поскольку вы более хорошо знакомы с этой структурой или потому, что у вас есть специфические потребности в приложении.
Простейшие линейные структуры черного ящика требуют наименьшего количества опций для настройки:
Передаточная функция с заданным количеством полюсов и нулей
Линейная модель ARX, которая является самой простой полиномиальной моделью ввода-вывода
Модель пространства состояний, которую можно оценить путем определения количества состояний модели
Оценка некоторых из этих структур также использует неитеративные алгоритмы оценки, что дополнительно уменьшает сложность.
Можно сконфигурировать структуру модели с помощью model order. Определение порядка модели изменяется в зависимости от типа модели, которую вы выбираете. Для примера, если вы выбираете представление передаточной функции, порядок модели связан с количеством полюсов и нулей. Для представления пространства состояний порядок модели соответствует количеству состояний. В некоторых случаях, таких как для линейного ARX и структур модели пространства состояний, можно оценить порядок модели из данных.
Если простые структуры модели не дают хороших моделей, можно выбрать более сложные структуры модели путем:
Установка более высокого порядка модели для тех же линейных структур модели. Более высокий порядок модели увеличивает гибкость модели для захвата сложных явлений. Однако излишне высокий порядок может сделать модель менее надежной.
Явно моделируя шум включением <reservedrangesplaceholder2> <reservedrangesplaceholder1> (<reservedrangesplaceholder0>) термин, как показано в следующем уравнении.
y (<reservedrangesplaceholder6>) = <reservedrangesplaceholder5> <reservedrangesplaceholder4> (<reservedrangesplaceholder3>) + <reservedrangesplaceholder2> <reservedrangesplaceholder1> (<reservedrangesplaceholder0>)
Здесь H моделирует нарушение порядка добавки, обрабатывая нарушение порядка как выход линейной системы, управляемой источником белого шума e (t).
Использование структуры модели, которая явно моделирует нарушение порядка добавки, может помочь улучшить точность измеренных G компонента. Кроме того, такая структура модели полезна, когда ваш основной интерес использует модель для предсказания будущих значений отклика.
Использование другой линейной структуры модели.
См. «Линейные Структуры модели».
Использование нелинейной структуры модели.
Нелинейные модели обладают большей гибкостью в захвате сложных явлений, чем линейные модели аналогичных порядков. См. «Нелинейные структуры модели».
В конечном счете, вы выбираете самую простую структуру модели, которая обеспечивает лучшую подгонку измеренным данным. Для получения дополнительной информации смотрите Оценка линейных моделей с помощью Quick Start.
Независимо от структуры, которую вы выбираете для оценки, можно упростить модель для ваших потребностей приложения. Например, можно отделить измеренную динамику (G) от динамики шума (H), чтобы получить более простую модель, которая представляет только отношение между y и u. Можно также линеаризировать нелинейную модель вокруг рабочей точки.
Линейной модели часто достаточно, чтобы точно описать динамику системы и, в большинстве случаев, лучшая практика состоит в том, чтобы сначала попытаться соответствовать линейным моделям. Если выход линейной модели не воспроизводит адекватно измеренный результат, вам, возможно, потребуется использовать нелинейную модель.
Можно оценить необходимость использования нелинейной структуры модели путем построения графика отклика системы на вход. Если вы заметили, что отклики различаются в зависимости от входного уровня или входного знака, попробуйте использовать нелинейную модель. Для примера, если выход реакция на вход шаг вверх быстрее, чем реакция на шаг вниз, вам может понадобиться нелинейная модель.
Перед построением нелинейной модели системы, которая, как вы знаете, нелинейна, попробуйте преобразовать входную и выходную переменные так, чтобы отношение между преобразованными переменными было линейным. Например, рассмотрите систему, которая имеет ток и напряжение в качестве входов для погружного нагревателя, и температуру нагретой жидкости в качестве выхода. Выход зависит от входов через степень нагревателя, которая равна продукту тока и напряжения. Вместо создания нелинейной модели для этой системы с двумя входами и одним выходом можно создать новую входную переменную, взяв продукт тока и напряжения и построив линейную модель, которая описывает отношение между степенью и температурой.
Если вы не можете определить переменные преобразования, которые приводят к линейной зависимости между входной и выходной переменными, можно использовать нелинейные структуры, такие как нелинейные модели ARX или Hammerstein-Wiener. Список поддерживаемых нелинейных структур модели и случаев их использования см. в разделе Нелинейные структуры модели.
Можно использовать приложение Системы идентификации или команды, чтобы оценить линейные и нелинейные модели различных структур. В большинстве случаев вы выбираете структуру модели и оцениваете параметры модели с помощью одной команды.
Рассмотрим систему масса-пружина-демпфер, описанную в Динамических системах и Моделях. Если вы не знаете уравнения движения этой системы, можно использовать подход моделирования черного ящика для построения модели. Для примера можно оценить передаточные функции или модели пространства состояний путем определения порядков этих структур модели.
Передаточная функция является отношением полиномов:
Для системы демпфера масса-пружина, эта передаточная функция
которая является системой без нулей и 2 полюсов.
В дискретном времени передаточная функция системы масса-пружина-демпфер может быть
где порядки моделей соответствуют количеству коэффициентов числителя и знаменателя (nb = 1 и nf = 2), и задержка ввода-вывода равна самой низкой степени порядка z–1 в числителе (nk = 1).
За непрерывное время можно создать модель линейной передаточной функции с помощью tfest команда.
m = tfest(data,2,0)
Здесь, data - ваши измеренные входно-выходные данные, представленные как iddata объект, а порядок модели является набором числа полюсов (2) и количеством нулей (0).
Точно так же можно создать модель в дискретном времени структуру Output Error с помощью oe команда.
m = oe(data,[1 2 1])
Порядок модели [nb nf nk] = [1 2 1]. Обычно вы не знаете порядков модели усовершенствование. Попробуйте несколько значений порядка модели, пока вы не найдете порядки, которые производят приемлемую модель.
Кроме того, можно выбрать структуру пространства состояний, чтобы представлять систему масса-пружина-демпфер и оценить параметры модели, используя ssest или n4sid команда.
m = ssest(data,2)
Вот, второй аргумент 2 представляет порядок или количество состояний в модели.
При моделировании черного ящика вам не нужно уравнение движения для системы - только догадка о порядках модели.
Для получения дополнительной информации о создании моделей смотрите Шаги для использования Приложения Системы идентификации и Команды Оценки Модели.
В некоторых ситуациях можно вывести структуру модели из физических принципов. Для примера математическая связь между входом силой и полученным перемещением массы в системе пружина-масса-демпфер, проиллюстрированная в Динамических системах и моделях, хорошо известна. В форме пространства состояний модель задается как
где x(t) = [y(t); v(t)] - вектор состояния. Коэффициенты A, B и C являются функциями параметров модели:
A = [0 1; - k/ m - c/ m]
B = [0; 1/m]
C = [1 0]
Здесь вы полностью знаете структуру модели, но не знаете значений ее параметров - m, c и k.
В сером ящике вы используете данные для оценки значений неизвестных параметров структуры модели. Вы задаете структуру модели набором дифференциальных или разностных уравнений в MATLAB и предоставляете некоторое начальное предположение для неизвестных заданных параметров.
В целом вы создаете модели серого ящика по:
Создание структуры модели шаблона.
Конфигурирование параметров модели с начальными значениями и ограничениями (если таковые имеются).
Применение метода оценки к структуре модели и вычисление значений параметров модели.
В следующей таблице представлены способы задания структуры модели серого ящика.
| Представление структуры серого ящика | Подробнее |
|---|---|
Представьте структуру модели пространства состояний как структурированную Можно вычислить значения параметров, такие как m, c и k, из матриц пространства состояний A и B. Для примера m = 1/ B (2) и k = - A (2,1 ) m. | |
Представьте структуру модели пространства состояний как idgrey объект модели. Можно непосредственно оценить значения параметров m, c и k. | Оценка модели серого ящика |
После оценки модели можно оценить качество модели по:
В конечном счете, вы должны оценить качество вашей модели на основе того, адекватно ли модель удовлетворяет потребности вашего приложения. Для получения информации о других доступных методах анализа модели, см. Анализ модели.
Если вы не получаете удовлетворительную модель, можно итеративно улучшить свои результаты, попробовав другую структуру модели, изменив настройки алгоритма оценки или выполнив дополнительную обработку данных. Если эти изменения не улучшают ваши результаты, вам, возможно, потребуется вернуться к процедурам экспериментального проекта и сбора данных.
Обычно вы оцениваете качество модели, сравнивая реакцию модели с измеренным выходом для того же входного сигнала.
Предположим, что вы используете подход моделирования черного ящика для создания динамических моделей системы демпфера пружинной массы. Вы пробуете различные структуры модели и порядки, такие как:
model1 = arx(data, [2 1 1]); model2 = n4sid(data, 3)
Можно симулировать эти модели с конкретным входом и сравнить их отклики с измеренными значениями перемещения для того же входа, примененного к действительной системе. Следующий рисунок сравнивает моделируемые и измеренные отклики для входов шага.
Рисунок указывает, что model2 лучше, чем model1 потому что model2 лучше подходит для данных (65% против 83%).
Процент подгонки указывает на согласие между ответом модели и измеренным выходом: 100 означает идеальную подгонку, а 0 указывает на плохую подгонку (то есть выход модели соответствует измеренному выходу, как среднее значение измеренного выхода).
Для получения дополнительной информации см. разделы на странице Сравнение выходе с измеренными данными.
Программное обеспечение System Identification Toolbox позволяет вам выполнить остаточный анализ, чтобы оценить качество модели. Невязки представляют фрагмент выходных данных, не объясненных оценочной моделью. Хорошая модель имеет невязки, некоррелированные с прошлыми входами.
Для получения дополнительной информации см. разделы на странице Остаточный анализ.
Когда вы оцениваете параметры модели из данных, вы получаете их номинальные значения, которые точны в доверие области. Размер этой области определяется значениями неопределенностей параметра, вычисленных во время оценки. Величина неопределенностей обеспечивает меру надежности модели. Большие неопределенности в параметрах могут быть результатом ненужно высоких порядков моделей, неадекватных уровней возбуждения в входных данных и плохого отношения сигнал/шум в измеренных данных.
Можно вычислить и визуализировать эффект неопределенностей параметра на ответ модели во временных и частотных диапазонах с помощью карт ноль полюсов, графиков отклика Бода и переходных процессов. Например, на следующей диаграмме Боде предполагаемой модели затененные области представляют неопределенность в амплитуде и фазе частотной характеристики модели, вычисленной с помощью неопределенности в параметрах. График показывает, что неопределенность низка только в частотной области значений от 5 до 50 рад/с, что указывает на то, что модель надежна только в этой частотной области значений.
Для получения дополнительной информации см. «Вычисление неопределенности модели».
Документация System Identification Toolbox предоставляет необходимую информацию для использования этого продукта. Доступны дополнительные ресурсы, которые помогут вам узнать больше о конкретных аспектах теории системы идентификации и ее приложениях.
В следующей книге описаны методы системы идентификации и физического моделирования:
Лджунг, Леннарт и Торкель Глэд. Моделирование динамических систем. Серия информации и системных наук Prentice Hall. Englewood Cliffs, NJ: PTR Prentice Hall, 1994.
Эти книги предоставляют подробную информацию о теории системы идентификации и алгоритмах:
Лджунг, Леннарт. Система идентификации: теория для пользователя. Второе издание. Серия информации и системных наук Prentice Hall. Upper Saddle River, NJ: PTR Prentice Hall, 1999.
Сёдерстрём, Торстен и Петре Стоика. Система идентификации. Prentice Hall International Series in Systems and Control Engineering. Нью-Йорк: Prentice Hall, 1989.
Для получения информации о работе с данными частотного диапазона смотрите следующую книгу:
Пинтелон, Рик и Йохан Шукенс. Система идентификации. A Частотного диапазона подход. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2001. https://doi.org/10.1002/0471723134.
Для получения информации о нелинейной идентификации смотрите следующие ссылки:
Шёберг, Йонас, Цинхуа Чжан, Леннарт Льюн, Альберт Бенвенисте, Бернард Делён, Пьер-Ив Глореннек, Хокан Хьялмарссон и Анатоли Юдицкий. Нелинейное моделирование черного ящика в системе идентификации: унифицированный обзор. Automatica 31, № 12 (декабрь 1995): 1691-1724. https://doi.org/10.1016/0005-1098 (95) 00120-8.
Юдицкий, Анатоли, Хокан Хьялмарссон, Альберт Бенвенисте, Бернард Делён, Леннарт Льюн, Йонас СюЁберг и Цинхуа Чжан. Нелинейные модели черного ящика в системе идентификации: математические основания. Автоматика 31, № 12 (декабрь 1995): 1725-50. https://doi.org/10.1016/0005-1098 (95) 00119-1.
Чжан, Цинхуа и Альберт Бенвенисте. «Вейвлет-сети». Транзакции IEEE в нейронных сетях 3, № 6 (ноябрь 1992): 889-98. https://doi.org/10.1109/72.165591.
Чжан, Цинхуа. «Использование вейвлет в непараметрической оценке». Транзакции IEEE в нейронных сетях 8, № 2 (март 1997): 227-36. https://doi.org/10.1109/72.557660.
Для получения дополнительной информации о системах и сигналах смотрите следующую книгу:
Oppenheim, Alan V., and Alan S. Willsky, Signals and Systems. Upper Saddle River, NJ: PTR Prentice Hall, 1985.
В следующем учебнике описываются числовые методы для оценки параметра с помощью минимизации критерия:
Деннис, Дж. Э., младший и Роберт Б. Шнабель. Численные методы для без оптимизации без ограничений и нелинейных уравнений. Upper Saddle River, NJ: PTR Prentice Hall, 1983.
