Геометрическое распределение

Обзор

Геометрическое распределение является однопараметрическим семейством кривых, которое моделирует количество отказов до одного успеха в серии независимых испытаний, где каждое испытание результатов либо в успехе, либо в отказ, и вероятность успеха в любом отдельном исследовании постоянна. Для примера, если вы бросаете монету, геометрическое распределение моделирует количество хвостов, наблюдаемых до того, как результат является головами. Геометрическое распределение дискретно, существует только на неотрицательных целых числах.

Statistics and Machine Learning Toolbox™ предлагает несколько способов работы с геометрическим распределением.

Используйте специфичные для распределения функции (geocdf, geopdf, geoinv, geostat, geornd) с заданными параметрами распределения. Функции, специфичные для распределения, могут принимать параметры нескольких геометрических распределений.
Используйте родовые функции распределения (cdf, icdf, pdf, mle, random) с заданным именем распределения ('Geometric') и параметры.

Параметры

В геометрическом распределении используется следующий параметр.

Параметр	Описание	Поддержка
`p`	Вероятность успеха	$0 \leq p \leq 1$

Функция плотности вероятностей

Функция плотности вероятностей (pdf) геометрического распределения

$y = f (x | p) = p {(1 - p)}^{x}; x = 0, 1, 2, \dots,$

где p - вероятность успеха, а x - количество отказов перед первым успехом. Результатом y является вероятность наблюдения точно x испытаний до успеха, когда вероятность успеха в любом данном исследовании p. Для дискретных распределений PDF также известен как функция масс вероятностей (pmf).

Для получения примера см. раздел «Вычисление геометрии» Распределения pdf.

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения (cdf) геометрического распределения

$y = F (x | p) = 1 - {(1 - p)}^{x + 1}; x = 0, 1, 2, ...,$

где p - вероятность успеха, а x - количество отказов перед первым успехом. Результатом y является вероятность наблюдения до x испытаний до успеха, когда вероятность успеха в любом данном исследовании p.

Для получения примера см. раздел «Вычисление геометрического распределения cdf».

Описательная статистика

Среднее значение геометрического распределения $mean = \frac{1 - p}{p},$ и отклонение геометрического распределения, $var = \frac{1 - p}{p^{2}},$ где p - вероятность успеха.

Функция опасности

Функция опасности (мгновенная частота отказов) является отношением pdf и дополнения cdf. Если f (t) и F (t) являются pdf и cdf распределения (соответственно), то коэффициент опасности $h (t) = \frac{f (t)}{1 - F (t)}$ . Подстановка PDF и CDF геометрического распределения для f (t) и F (t) выше приводит к постоянной величине, равной возвратной величине среднего. Геометрическое распределение является единственным дискретным распределением с постоянной функцией опасности. Следовательно, вероятность наблюдения успеха не зависит от количества уже наблюдаемых отказов.

Примеры

Вычисление геометрического распределения PDF

Открыть Live Script

Вычислите PDF геометрического распределения с вероятностью успеха 0.25.

x = 0:20;
y = geopdf(x,0.25);

Постройте график PDF с полосами ширины 1.

figure
bar(x,y,1)
xlabel('Observation')
ylabel('Probability')

Figure contains an axes. The axes contains an object of type bar.

Вычисление геометрического распределения cdf

Открыть Live Script

Вычислите cdf геометрического распределения с вероятностью успеха 0.25.

x = 0:20;
y = geocdf(x,0.25);

Постройте график cdf.

figure
stairs(x,y)
xlabel('Observation')
ylabel('Cumulative Probability')

Figure contains an axes. The axes contains an object of type stair.

Вычисление геометрических вероятностей распределения

Открыть Live Script

Предположим, что вероятность того, что пятилетний автомобильный аккумулятор не запустится в холодную погоду, составляет 0,03. Драйвер пытается запустить машину каждое утро в течение периода холодов, длящихся 25 дней. Моделируйте этот сценарий с геометрическим распределением, где событие, которое нужно наблюдать, является автомобилем, не стартующим.

Вычислите cdf 25, чтобы найти вероятность того, что машина не запустится в течение одного из 25 дней.

x = 25;
p = 0.03;
notstart = geocdf(x,p)

notstart = 0.5470

Вычислите дополнение, чтобы найти вероятность запуска автомобиля каждый день в течение всех 25 дней.

start = 1 - notstart

start = 0.4530

Связанные распределения

Экспоненциальное Распределение - экспоненциальное распределение является непрерывным распределением с одним параметром, которое имеет μ параметра (среднее значение). Экспоненциальное распределение является непрерывным аналогом геометрического и является единственным распределением, отличным от геометрического с постоянной функцией опасности.
Отрицательное биномиальное распределение - отрицательное биномиальное распределение является двухпараметрическим дискретным распределением, которое имеет параметры r и p и моделирует количество отказов, наблюдаемых до r успехов с p вероятности успеха в одном исследовании. Геометрическое распределение происходит как отрицательное биномиальное распределение с r = 1.

Ссылки

[1] Abramowitz, Milton, and Irene A. Stegun, eds. Справочник по математическим функциям: с формулами, графиками и математическими таблицами. 9. Dover print.; [Нахдр. дер Аусг. фон 1972]. Книги Дувра по математике. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Dover Publ, 2013.

[2] Девройе, Люк Неоднородный Генерация случайных переменных. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Спрингер Нью-Йорк, 1986. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8643-8

[3] Эванс, Мерран, Николас Гастингс и Брайан Пикок. Статистические распределения. 2-й ред. Нью-Йорк: Дж. Уайли, 1993.

См. также

Документация