Документация

2D функциональные графики: plotfunc2d

Мы рассматриваем 2D примеры, т.е. графики одномерных функций y = f (x). Вот один период синусоидальной функции:

plotfunc2d(sin(x), x = 0..2*PI):

Если несколько функций должны быть построены в той же графической сцене, только передайте последовательность выражений function. Все функции построены в заданной общей области значений:

plotfunc2d(sin(x)/x, x*cos(x), tan(x), x = -4..4):

Функции, которые не позволяют простое символьное представление по выражению, могут также быть заданы procedure, который производит численное значение f (x), когда названо численным значением x из области значений графика. В следующем примере мы рассматриваем самое большое собственное значение симметричного 3×3 матрица, которая содержит параметр x. Мы строим это собственное значение как функцию x:

f := x -> max(numeric::eigenvalues(matrix([[-x, x, -x  ], 
                                           [ x, x,  x  ], 
                                           [-x, x,  x^2]]))):
plotfunc2d(f, x = -1..1):

x имени, используемый в спецификации области значений графического вывода, обеспечивает имя, которое маркирует горизонтальную ось. Функции могут также быть заданы объектами piecewise:

plotfunc2d(piecewise([x < 1, 1 - x],
                     [1 < x and x < 2, 1/2],
                     [x > 2, 2 - x]),
           x = -2..3)

Обратите внимание на то, что существуют разрывы в определении функции выше: никакое значение функции не задано для x = 1 и x = 2. Это не вызывает проблемы, потому что plotfunc2d просто игнорирует все точки, которые не производят действительные численные значения. Таким образом, в следующем примере, график автоматически ограничивается областями, где функции производят действительные значения:

plotfunc2d(sqrt(8 - x^4), ln(x^3 + 2)/(x - 1), x = -2 ..2):

Когда несколько функций построены в той же сцене, они чертятся в различных цветах, которые выбраны автоматически. С атрибутом Colors можно задать список цветов RGB, которые должен использовать plotfunc2d:

plotfunc2d(x, x^2, x^3, x^4, x^5, x = 0..1,
           Colors = [RGB::Red, RGB::Orange, RGB::Yellow, 
                     RGB::BlueLight, RGB::Blue]):

Анимированные 2D графики функций создаются путем передачи выражений function в зависимости от переменной (x, скажите) и параметр анимации (a, скажите), и определение области значений и для x и для a:

plotfunc2d(cos(a*x), x = 0..2*PI, a = 1..2):

Если график создается, первый кадр изображения появляется как статический график. После нажатия на изображение графический инструмент начинает проигрывать анимацию. Существуют обычные средства управления, чтобы остановиться, запуститься, и ускоренная перемотка вперед/перемотка анимация.

Количество по умолчанию кадров анимации равняется 50. Если различное значение желаемо, только передайте атрибут Frames = n, где n является количеством кадров, которые должны быть созданы:

plotfunc2d(sin(a*x), sin(x - a), x = 0..PI, a = 0..4*PI, 
           Colors = [RGB::Blue, RGB::Red], Frames = 200):

Кроме спецификации цветов или номера Frames, существует большое количество дальнейших атрибутов, которые могут быть переданы plotfunc2d. Каждый атрибут передается как уравнение AttributeName = AttributeValue к plotfunc2d. Здесь, мы только представляем некоторые выбранные атрибуты. Смотрите раздел по атрибутам для plotfunc для дальнейших таблиц с большим количеством атрибутов.

Следующий пример графика показывает известную функцию, которая колеблется дико около источника:

plotfunc2d(sin(1/x), x = -0.5..0.5):

Безусловно, значение по умолчанию 121 точки выборки, используемой plotfunc2d, не достаточно, чтобы создать достаточно разрешенный график. Мы увеличиваем число числовых точек mesh через атрибут Mesh. Кроме того, мы увеличиваем глубину разрешения адаптивного механизма графического вывода от его значения по умолчанию AdaptiveMesh = 2 к AdaptiveMesh = 4:

plotfunc2d(sin(1/x), x = -0.5..0.5, Mesh = 500,
           AdaptiveMesh = 4):

Следующий вызов задает заголовок через Header = "The function sin(x^2)". Расстояние между маркированными метками деления установлено в 0,5 вдоль  оси x и в 0,2 вдоль  оси y через XTicksDistance = 0.5 и YTicksDistance = 0.2, соответственно. Четыре дополнительных немаркированных метки деления между каждой парой маркированных меток деления установлены в направлении x через XTicksBetween = 4. Одну дополнительную немаркированную метку деления между каждой парой маркированных меток деления в направлении y требуют через YTicksBetween = 1. Линии сетки, присоединенные к меткам деления, “включаются” GridVisible = TRUE и SubgridVisible = TRUE:

plotfunc2d(sin(x^2), x = 0..7,
           Header = "The function sin(x^2)",
           XTicksDistance = 0.5, YTicksDistance = 0.2,
           XTicksBetween = 4, YTicksBetween = 1,
           GridVisible = TRUE, SubgridVisible = TRUE):

Когда особенности найдены в функции, автоматическое усечение называется, пытаясь ограничить вертикальную область значений просмотра в некотором роде, чтобы получить “довольно” масштабируемое изображение. Это - эвристический подход, для которого иногда нужна адаптация помощи “вручную”. В следующем примере, автоматически выбранной области значений между y ≈ - 1 и y ≈ 440 в вертикальном направлении подходит, чтобы представлять 6-й полюс порядка в x = 1, но это не обеспечивает хорошее разрешение полюса первого порядка в x = - 1:

plotfunc2d(1/(x + 1)/(x - 1)^6, x = -2..2):

Нет никакой хорошей области значений просмотра, которая достаточна для обоих полюсов, потому что они имеют различный порядок. Однако некоторый компромисс может быть найден. Мы заменяем автоматическую область значений просмотра, предложенную plotfunc2d, и запрашиваем определенную область значений просмотра в вертикальном направлении через ViewingBoxYRange:

plotfunc2d(1/(x + 1)/(x - 1)^6, x = -2..2, 
           ViewingBoxYRange = -10..10):

Значения следующей функции имеют нижнюю границу, но никакую верхнюю границу. Мы используем атрибут ViewingBoxYRange = Automatic..10, чтобы позволить plotfunc2d найти нижнюю границу для поля просмотра отдельно при запросе определенного значения 10 для верхней границы:

plotfunc2d(exp(x)*sin(PI*x) + 1/(x + 1)^2/(x - 1)^4, x = -2..2, 
           ViewingBoxYRange = Automatic..10):

3D функциональные графики: plotfunc3d

Мы рассматриваем 3D примеры, т.е. графики двумерных функций z = f (x, y). Вот график функционального sin (x ² + y ²):

plotfunc3d(sin(x^2 + y^2), x = -2..2, y = -2..2):

Если несколько функций должны быть построены в той же графической сцене, только передайте последовательность выражений function; все функции построены в заданной общей области значений:

plotfunc3d((x^2 + y^2)/4, sin(x - y)/(x - y),
                       x = -2..2, y = -2..2):

Функции, которые не позволяют простое символьное представление по выражению, могут также быть заданы procedure, который производит численное значение f (x, y), когда названо численными значениями x, y из области значений графика. В следующем примере мы рассматриваем самое большое собственное значение симметричного 3×3 матрица, которая содержит два параметра x, y. Мы строим это собственное значение как функцию x и y:

f := (x, y) -> max(numeric::eigenvalues(
                   matrix([[-y, x, -x],
                             [x, y, x],
                          [-x, x, y^2]]))):
plotfunc3d(f, x = -1..1, y = -1..1):

Имена x, y, используемый в спецификации области значений графического вывода, обеспечивают метки соответствующих осей. Функции могут также быть заданы объектами piecewise:

plotfunc3d(piecewise([x < y, y - x], [x > y, (y - x)^2]),
                                     x = 0..1, y = 0..1)

Обратите внимание на то, что существуют разрывы в определении функции выше: никакое значение функции не задано для x = y. Это не вызывает проблемы, потому что plotfunc3d просто игнорирует точки, которые не производят действительные численные значения, если это находит подходящие значения в окружении. Таким образом упускающая суть не обнаруживается в графике, если эти точки изолируются или ограничиваются некоторой 1-мерной кривой в x-y плоскость. Если функция не действительна оцененный в областях ненулевой меры, получившийся график содержит дыры. Следующая функция действительна оцененный только в диске x ² + y ² ≤ 1:

plotfunc3d(sqrt(1 - x^2 - y^2), x = 0..1, y = 0..1):

Когда несколько функций построены в той же сцене, они чертятся в различных цветах, которые выбраны автоматически. С атрибутом Colors можно задать список цветов RGB, которые должен использовать plotfunc3d:

plotfunc3d(2 + x^2 + y^2, 1 + x^4 + y^4, x^6 + y^6,
           x = -1..1, y = -1..1,
           Colors = [RGB::Red, RGB::Green, RGB::Blue]):

Анимированные 3D графики функций создаются путем передачи выражений function в зависимости от двух переменных (x, y, скажите) и параметр анимации (a, скажите), и определение области значений для x, y и a:

plotfunc3d(x^a + y^a, x = 0..2, y = 0..2, a = 1..2):

Если график создается, первый кадр изображения появляется как статический график. После двойного клика на изображении, запусках анимации. Обычные средства управления для остановки, идя в некоторый другой момент времени и т.д. доступны.

Количество по умолчанию кадров анимации равняется 50. Если различное значение желаемо, только передайте атрибут Frames = n, где n является количеством кадров, которые должны быть созданы:

plotfunc3d(sin(a)*sin(x) + cos(a)*cos(y),
                x = 0..2*PI, y = 0..2*PI,
                a = 0..2*PI, Frames = 32):

Кроме спецификации цветов или номера Frames, существует большое количество дальнейших атрибутов, которые могут быть переданы plotfunc3d. Каждый атрибут передается как уравнение AttributeName = AttributeValue к plotfunc3d. Здесь, мы только представляем некоторые выбранные атрибуты. Разделите Атрибуты для plotfunc2d, и plotfunc3d предоставляет дальнейшим таблицам больше атрибутов.

В следующем примере mesh по умолчанию 25 ×25 точек выборки, используемых plotfunc3d, не достаточна, чтобы создать достаточно разрешенный график:

plotfunc3d(sin(x^2 + y^2), x = -3..3, y = -3..3):

Мы увеличиваем число числовых точек mesh через атрибут Submesh:

plotfunc3d(sin(x^2 + y^2), x = -3..3, y = -3..3, Submesh = [3, 3])

Следующий вызов задает заголовок через Header = "The function sin(x - y^2)". Линии сетки, присоединенные к меткам деления, “включаются” GridVisible = TRUE и SubgridVisible = TRUE:

plotfunc3d(sin(x - y^2), x = -2*PI..2*PI, y = -2..2,
           Header = "The function sin(x - y^2)",
           GridVisible = TRUE, SubgridVisible = TRUE):

Когда особенности найдены в функции, автоматическое усечение называется, пытаясь ограничить вертикальную область значений просмотра в некотором роде, чтобы получить “довольно” масштабируемое изображение. Это - эвристический подход, для которого иногда нужна адаптация помощи “вручную”. В следующем примере, автоматически выбранной области значений между z ≈ 0 и z ≈ 0.8 в вертикальном направлении подходит, чтобы представлять полюс в x = 1, y = 1, но это не обеспечивает хорошее разрешение полюса в x = - 1, y = 1:

plotfunc3d(1/((x + 1)^2 + (y - 1)^2)/((x - 1)^2 + (y - 1)^2)^5,
                        x = -2..3, y = -2..3, Submesh = [3, 3]):

Нет никакой хорошей области значений просмотра, которая достаточна для обоих полюсов, потому что они имеют различный порядок. Мы заменяем автоматическую область значений просмотра, предложенную plotfunc3d, и запрашиваем определенную область значений просмотра в вертикальном направлении через ViewingBoxZRange:

plotfunc3d(1/((x + 1)^2 + (y - 1)^2)/((x - 1)^2 + (y - 1)^2)^5,
                                          x = -2..3, y = -2..3,
                   Submesh = [3, 3], ViewingBoxZRange = 0..0.1):

Значения следующей функции имеют нижнюю границу, но никакую верхнюю границу. Мы используем атрибут ViewingBoxZRange = Automatic..20, чтобы позволить plotfunc2d найти нижнюю границу для поля просмотра отдельно при запросе определенного значения 20 для верхней границы:

plotfunc3d(1/x^2/y^2 + exp(-x)*sin(PI*y),
                    x = -2..2, y = -2..2,
        ViewingBoxZRange = Automatic..20):

Атрибуты для plotfunc2d и plotfunc3d

Функциональные плоттеры plotfunc2d и plotfunc3d принимают большое количество атрибутов (опции). В этом разделе мы даем обзор по самым важным атрибутам. Существует страница справки для каждого атрибута, который обеспечивает более подробную информацию и примеры.

Атрибуты передаются как уравнения AttributeName = AttributeValue к plotfunc2d и plotfunc3d. Несколько атрибутов могут быть переданы одновременно как последовательность таких уравнений.

Атрибуты могут быть изменены в интерактивном режиме в инспекторе свойств. Нажмите на график заставить подокна появиться для “обозревателя объектов” и “инспектора свойств” (см. раздел Viewer, Браузер и Инспектора: Интерактивная Манипуляция). Функции, построенные по plotfunc2d и plotfunc3d, появляются как объекты графика типа plot::Function2d и plot::Function3d, соответственно. Они встраиваются в систему координат в графической сцене. Сцена встраивается в область просмотра, названную 'Холстом'. В средстве просмотра различные атрибуты графика сопоставлены с различными объектами этой графической иерархии. Как правило, параметры размещения и заголовки установлены в холсте, пока оси, линии сетки, просматривающие поля и т.д. сопоставлены с системой координат. Некоторые атрибуты, такие как цвета, ширина линии, числовой размер mesh и т.д. принадлежит функциональным графикам и может быть установлен отдельно для каждой функции, построенной по plotfunc2d/plotfunc3d.

Последняя запись в следующих таблицах обеспечивает местоположение атрибута в графической иерархии обозревателя объектов. Например, для изменения цвета фона изображения, выберите сцену путем двойного щелчка по ‘Scene2d’/‘Scene3d’ запись в обозревателе объектов. Теперь, инспектор свойств предоставляет дереву атрибутов с узлами 'Аннотация', 'Размещение' и 'Стиль'. Открывая поддерево 'Стиля', каждый находит запись для BackgroundColor, который позволяет изменять цвет фона в интерактивном режиме.

Вот таблица самых важных атрибутов для установки размещения и фона изображения:

Полный заголовок может быть установлен как нижний колонтитул и/или заголовок. Вот таблица атрибутов, определяющих нижний колонтитул и/или заголовок изображения:

Кроме нижних колонтитулов и/или заголовков сцен и холста, существуют заголовки, сопоставленные с функциями. В отличие от нижнего колонтитула и заголовка, функциональные заголовки могут быть помещены куда угодно в системе координат через атрибут TitlePosition. Как правило, заголовки сопоставлены с отдельными объектами, а не с целыми сценами. Таким образом, при использовании plotfunc2d или plotfunc3d, атрибут заголовка будет обычно только использоваться, когда одна функция будет отображена. Однако несколько заголовков с отдельными положениями могут быть установлены в интерактивном режиме в инспекторе свойств для каждой из функций:

Если несколько функций чертятся одновременно в одном изображении, полезно отобразить легенду, указывающую, какой цвет используется для который функция. Смотрите раздел Legends для получения дальнейшей информации по легендам. Вот таблица самых важных атрибутов, определяющих форму легенды. LegendEntry атрибутов, LegendText и LegendVisible = TRUE установлены автоматически plotfunc2d/plotfunc3d, если больше чем одна функция построена. Инспектор свойств (Средство просмотра, Браузер и Инспектор: Интерактивная Манипуляция), позволяет сбрасывать запись легенды для каждой функции:

Когда сингулярные функции построены, часто полезно запросить определенную область значений просмотра. Вот таблица самых важных атрибутов для установки областей значений просмотра. В браузере интерактивного объекта вы найдете их под CoordinateSystem2d (CS2d) и CoordinateSystem3d (CS3d), соответственно:

В отличие от стандартных программ библиотеки plot, plotfunc2d и plotfunc3d также принимают атрибуты YMin, YMax, YRange и ZMin, ZMax, ZRange, соответственно, как ярлыки для несколько неуклюжих названий атрибута ViewingBoxYMin и т.д. Например,

plotfunc2d(f(x), x = xmin..xmax, YRange = ymin..ymax)

эквивалентно

plotfunc2d(f(x), x = xmin..xmax,
           ViewingBoxYRange = ymin..ymax)

и

plotfunc3d(f(x, y), x = xmin..xmax, y = ymin..ymax,
           ZRange = zmin..zmax)

эквивалентно

plotfunc3d(f(x, y), x = xmin..xmax, y = ymin..ymax,
           ViewingBoxZRange = zmin..zmax)

Вот таблица самых важных атрибутов для расположения осей координат. В браузере интерактивного объекта вы найдете их под CoordinateSystem2d (CS2d) и CoordinateSystem3d (CS3d), соответственно:

Вот таблица самых важных атрибутов для установки отметок деления и меток в виде галочки вдоль осей. В браузере интерактивного объекта вы найдете их под CoordinateSystem2d (CS2d) и CoordinateSystem3d (CS3d), соответственно:

Линии координатной сетки могут быть проведены в фоновом режиме графической сцены (соответствующий управлениям выровненной бумаги). Они присоединены к отметкам деления вдоль осей. Существуют линии сетки, присоединенные к “главным” маркированным отметкам деления, которые упоминаются как “Grid”. Существуют также линии сетки, сопоставленные с “незначительным” немаркированным набором отметок деления быть атрибутом TicksBetween. Эти “незначительные” линии сетки упоминаются как “Subgrid”. Два вида линий сетки могут быть установлены независимо. В браузере интерактивного объекта вы найдете следующие атрибуты под CoordinateSystem2d (CS2d) и CoordinateSystem3d (CS3d), соответственно:

Анимации требуют, чтобы, строя области значений x = xmin..xmax (и y = ymin..ymax) был полностью задан в plotfunc2d (или plotfunc3d, соответственно). Анимации инициированы путем передачи дополнительной области значений, такой как a = amin..amax к plotfunc2d/plotfunc3d. a параметра анимации может подняться в выражении функций, которые должны быть построены, а также в различных других местах, таких как координаты заголовков и т.д. Смотрите раздел Graphics и Animations для деталей.

Функции построены как полигоны, состоящие из сегментов прямой линии между точками “числовой mesh”. Число точек в этой числовой mesh установлено различными атрибутами “mesh”:

В 2D изображениях, сгенерированных plotfunc2d, особенности функции обозначаются вертикальными строками (“вертикальные асимптоты”), если DiscontinuitySearch = FALSE не установлен. Вот таблица с атрибутами для установки стиля вертикальных асимптот:

Цвета функций, построенных по plotfunc2d, выбраны автоматически. Инспектор свойств (см. раздел Viewer, Браузер и Инспектора: Интерактивная Манипуляция), позволяет изменять эти атрибуты:

Устанавливая LinesVisible = FALSE и PointsVisible = TRUE, функции, построенные по plotfunc2d, не будут отображены как полигоны, но как последовательности точек. Вот таблица атрибутов, чтобы установить стиль презентации точек:

Цвета и поверхностные стили функций, построенных по plotfunc3d, выбраны автоматически. Инспектор свойств (см. раздел Viewer, Браузер и Инспектора: Интерактивная Манипуляция), позволяет изменению эти атрибуты:

Помимо обычных линейных графиков, логарифмические графики также возможны путем выбора соответствующего CoordinateType.

С Scaling = Constrained модуль окружает образцовые координаты (квадрат в 2D, куб в 3D) отображен как модульное поле. С Scaling = Unconstrained средство отображения применяет различное преобразование масштабирования в координатных направлениях, чтобы получить оптимальный припадок изображения в окне экрана. Это, однако, может исказить круг к эллипсу. С Scaling = Constrained 2D круг появляется на экране как круг, 3D сфера появляется как сфера.

2D функции предварительно обрабатываются полусимвольным поиском разрывов, чтобы улучшить графическое представление около особенностей и избежать графических артефактов. Если непрерывные функции построены, можно получить, некоторые убыстряются путем выключения этого поиска с DiscontinuitySearch = FALSE.

Когда очень трудоемкие графики состоят в том, чтобы быть созданы, может быть полезно создать графики в “пакетном режиме”. С атрибутом OutputFile = filename вывод графических данных не представляется на экран. Внешний файл с указанным именем, содержащим графические данные, создается вместо этого. Это может содержать данные XML, которые могут быть просмотрены позже путем открытия файла с инструментом 'VCam' графики MuPAD^®. Также растровые файлы в различных стандартных растровых форматах, таких как bmp, jpg и т.д. могут быть созданы, который может быть просмотрен другими стандартными инструментами. Смотрите раздел Batch Mode для получения дальнейшей информации.