Автокорреляция и частичная автокорреляция

Что такое автокорреляция и частичная автокорреляция?

Автокорреляция - это линейная зависимость переменной от себя в два момента времени. Для стационарных процессов автокорреляция между любыми двумя наблюдениями зависит только от временной задержки h между ними. Определить Cov (_yt, _yt-h) = _{γ ч}. Автокорреляция лаг-ч дана

$_{αh} = {Corr}_{} (_{yt,} yt \frac{_{-}}{_{h}})$ = γ hγ 0.

Знаменателем γ 0 является ковариация запаздывания 0, то есть безусловная дисперсия процесса.

Корреляция между двумя переменными может быть результатом взаимной линейной зависимости от других переменных (смешение). Частичная автокорреляция - автокорреляция между _yt и _yt-h после удаления любой линейной зависимости от y1, y2,..., yt-h ₊ 1. Частичная автокорреляция с запаздыванием-h обозначается $_{}$

Теоретические ACF и PACF

Автокорреляционная функция (ACF) для временного ряда _yt, t = 1,...,N, является последовательностью $_{αh},$ h = 1, 2,...,N - 1. Частичная автокорреляционная функция (PACF) представляет собой последовательность δ h, h, h $_{= 1},$ 2,...,N - 1.

Теоретические ACF и PACF для условных средних моделей AR, MA и ARMA известны и различны для каждой модели. Эти различия между моделями важно учитывать при выборе моделей.

Модель условного среднего	Поведение ACF	Поведение PACF
AR (p)	Хвосты постепенно	Отсекает после p лагов
МА (q)	Отсекает после задержки q	Хвосты постепенно
ARMA (p, q)	Хвосты постепенно	Хвосты постепенно

Образец ACF и PACF

Автокорреляция образца и частичная автокорреляция образца являются статистическими данными, которые оценивают теоретическую автокорреляцию и частичную автокорреляцию. С помощью этих инструментов выбора качественных моделей можно сравнить образцы ACF и PACF данных с известными теоретическими автокорреляционными функциями [1].

Для наблюдаемой серии y1, y2,...,yT обозначают среднее значение y $\overset{}{} для$ образца. Автокорреляция запаздывания образца

${\overset{}{}}_{} \frac{_{}^{ρ^h=∑t=h+1T} (_{} yt \bar{} y_{w)} (\overset{yt}{}}{-_{h}^{-} {y_{} w \overset{}{)}}^{}}$ ∑t=1T (yt − y w) 2.

Стандартная ошибка для тестирования значения единственной автокорреляции задержки-h, ${\overset{}{}}_{ρ^h}$ , приблизительно

$_{SEstart=} \sqrt{(_{}^{} {\overset{}{}}_{}^{} 1+2\sumi=1h-1ρ^i2})$ /N.

При использовании autocorr для построения графика выборочной автокорреляционной функции (также известной как коррелограмма) приблизительно 95% доверительные интервалы по умолчанию рисуются в ± 2SEstart. Дополнительные входные аргументы позволяют изменить вычисление доверительных границ.

Частичная автокорреляция запаздывания образца - это оценочный коэффициент запаздывания в модели AR, содержащий h запаздываний ${\overset{}{}}_{}$ , Стандартная ошибка для тестирования значимости частичной автокорреляции с единичным запаздыванием составляет $приблизительно \sqrt{}$ 1/N. При использованииparcorr для построения графика выборочной функции частичной автокорреляции по $\sqrt{}$ умолчанию строятся приблизительно 95% доверительные интервалы при ± 2/N. Дополнительные входные аргументы позволяют изменить вычисление доверительных границ.

Вычислить образцы ACF и PACF в MATLAB

Открыть сценарий в реальном времени

В этом примере показано, как вычислять и выводить на график образцы ACF и PACF временных рядов с помощью функций Econometrics Toolbox™ autocorr и parcorrи приложение Econometric Modeler.

Создание синтетических временных рядов

Имитация процесса MA (2) $_{}$ yt путем фильтрации серии из 1000 стандартных гауссовых отклонений $_{} αt$ через уравнение разности

$_{yt} =_{}_{} {αt-αt-1}_{+}$ αt-2.

rng('default') % For reproducibility
e = randn(1000,1);
y = filter([1 -1 1],1,e);

График и вычисление ACF

Постройте график выборки ACF $_{yt}$ путем передачи моделируемого временного ряда в autocorr.

autocorr(y)

Figure contains an axes. The axes with title Sample Autocorrelation Function contains 4 objects of type stem, line.

Автокорреляция образца лагов больше 2 незначительна.

Вычислить образец ACF путем вызова autocorr снова. Возвращает первый выходной аргумент.

acf = autocorr(y)

acf(j) - автокорреляция образца $_{yt}$ при запаздывании j – 1.

График и вычисление PACF

Постройте график выборки PACF $_{yt}$ путем передачи моделируемого временного ряда в parcorr.

parcorr(y)

Figure contains an axes. The axes with title Sample Partial Autocorrelation Function contains 4 objects of type stem, line.

Образец PACF постепенно уменьшается с увеличением запаздывания.

Вычислить образец PACF путем вызова parcorr снова. Возвращает первый выходной аргумент.

pacf = parcorr(y)

pacf = 21×1

    1.0000
   -0.6697
   -0.1541
    0.2929
    0.3421
    0.0314
   -0.1483
   -0.2290
   -0.0394
    0.1419
      ⋮

pacf(j) - выборочная частичная автокорреляция $_{yt}$ при запаздывании j – 1.

Образцы ACF и PACF предполагают, что $_{yt}$ является процессом MA (2).

Использование эконометрического моделирования

Откройте приложение Econometric Modeler, введя econometricModeler в командной строке.

econometricModeler

Загрузка моделируемого временного ряда y.

На вкладке Econometric Modeler в разделе Импорт выберите Импорт > Импорт из рабочей области.
В диалоговом окне «Импорт данных» в окне «Импорт»? установите флажок для y переменная.
Щелкните Импорт (Import).

Переменная y1 появляется в браузере данных, а его график временных рядов появляется в окне рисунка «График временных рядов» (y1).

Постройте график образца ACF, щелкнув ACF на вкладке Графики (Plots).

Постройте график образца PACF, щелкнув PACF на вкладке Графики (Plots). Поместите график PACF под графиком ACF, перетащив вкладку PACF (y1) в нижнюю половину документа.

Ссылки

[1] Бокс, Джордж Э. П., Гвилим М. Дженкинс и Грегори К. Рейнсель. Анализ временных рядов: прогнозирование и контроль. 3-й ред. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис Холл, 1994.

Документация