Смоделировать примерное решение диагонально-дрейфовых GBM-процессов
Используйте функции моделирования GBM. Отдельные модели GBM имеют две специальные функции моделирования:
Перегруженная функция моделирования Эйлера (simulate), предназначенный для оптимальной производительности.
A simBySolution функция, обеспечивающая приблизительное решение лежащего в основе стохастического дифференциального уравнения, рассчитанного на точность.
Загрузить Data_GlobalIdx2 набор данных и укажите модель SDE, как в представлении рыночных моделей с использованием объектов SDE, и модель GBM, как в представлении рыночных моделей с использованием объектов SDELD, CEV и GBM.
load Data_GlobalIdx2 prices = [Dataset.TSX Dataset.CAC Dataset.DAX ... Dataset.NIK Dataset.FTSE Dataset.SP]; returns = tick2ret(prices); nVariables = size(returns,2); expReturn = mean(returns); sigma = std(returns); correlation = corrcoef(returns); t = 0; X = 100; X = X(ones(nVariables,1)); F = @(t,X) diag(expReturn)* X; G = @(t,X) diag(X) * diag(sigma); SDE = sde(F, G, 'Correlation', ... correlation, 'StartState', X); GBM = gbm(diag(expReturn),diag(sigma), 'Correlation', ... correlation, 'StartState', X);
Чтобы проиллюстрировать преимущество производительности перегруженной аппроксимационной функции Эйлера (simulate), увеличить количество испытаний до 10000.
nPeriods = 249; % # of simulated observations dt = 1; % time increment = 1 day rng(142857,'twister') [X,T] = simulate(GBM, nPeriods, 'DeltaTime', dt, ... 'nTrials', 10000); whos X
Name Size Bytes Class Attributes X 250x6x10000 120000000 double
Используя этот размер выборки, изучите терминальное распределение TSX Composite в Канаде, чтобы качественно проверить логнормальный характер данных.
histogram(squeeze(X(end,1,:)), 30), xlabel('Price'), ylabel('Frequency') title('Histogram of Prices after One Year: Canada (TSX Composite)')
Смоделировать 10 испытаний решения и построить график первого испытания:
rng('default') [S,T] = simulate(SDE, nPeriods, 'DeltaTime', dt, 'nTrials', 10); rng('default') [X,T] = simBySolution(GBM, nPeriods,... 'DeltaTime', dt, 'nTrials', 10); subplot(2,1,1) plot(T, S(:,:,1)), xlabel('Trading Day'),ylabel('Price') title('1st Path of Multi-Dim Market Model:Euler Approximation') subplot(2,1,2) plot(T, X(:,:,1)), xlabel('Trading Day'),ylabel('Price') title('1st Path of Multi-Dim Market Model:Analytic Solution')
В этом примере все параметры являются константами, и simBySolution действительно пробует точное решение. Детали единого индекса для любого данного испытания показывают, что ценовые пути аппроксимации Эйлера и точного решения близки, но не идентичны.
Следующий график иллюстрирует разницу между двумя функциями:
subplot(1,1,1) plot(T, S(:,1,1) - X(:,1,1), 'blue'), grid('on') xlabel('Trading Day'), ylabel('Price Difference') title('Euler Approx Minus Exact Solution:Canada(TSX Composite)')
simByEuler Аппроксимация Эйлера буквально оценивает стохастическое дифференциальное уравнение непосредственно из уравнения движения, для некоторого подходящего значения dt приращение времени. Эта простая аппроксимация страдает ошибкой дискретизации. Эту ошибку можно объяснить несоответствием между выбором временного приращения dt и тем, что в теории является параметром непрерывного времени.
Дискретно-временная аппроксимация улучшается DeltaTime приближается к нулю. Функция Эйлера часто является наименее точным и наиболее общим доступным методом. Все модели, поставляемые в simulation suite, имеют simByEuler функция.
Напротив, simBySolution функция обеспечивает более точное описание базовой модели. Эта функция моделирует пути цен путем аппроксимации замкнутого решения разделяемых моделей. В частности, он применяет эйлеровский подход к преобразованному процессу, который в целом не является точным решением этого GBM модель. Это происходит потому, что распределения вероятности моделируемого и истинного векторов состояния идентичны только для кусочно-постоянных параметров.
Когда все параметры модели являются кусочно постоянными в течение каждого периода наблюдения, смоделированный процесс является точным для времени наблюдения, в которое дискретизируется вектор состояния. Поскольку в этом примере все параметры являются константами, simBySolution действительно пробует точное решение.
Пример использования simBySolution для оптимизации точности решений см. раздел Оптимизация точности: о точности решения и ошибке.
simBySolution функция моделирует NTRIALS примеры путей NVARS коррелированные переменные состояния, управляемые NBROWNS Броуновские источники движения риска NPERIODS последовательные периоды наблюдения, аппроксимирующие кратковременные модели GBM непрерывного времени аппроксимацией решения закрытой формы.
Рассмотрим разделяемую векторнозначную модель GBM вида:
) V (t) dWt
где:
Xt - это NVARSоколо-1 вектор состояния переменных процесса.
λ - это NVARSоколо-NVARS обобщенная ожидаемая мгновенная скорость возврата матрицы.
V - это NVARSоколо-NBROWNS матрица мгновенной волатильности.
dWt является NBROWNSоколо-1 Броуновский вектор движения.
simBySolution функция моделирует вектор состояния Xt с помощью аппроксимации замкнутого решения диагонально-дрейфовых моделей.
При вычислении выражений simBySolution предполагает, что все параметры модели являются кусочно-постоянными в течение каждого периода моделирования.
В общем, это не является точным решением моделей, потому что распределения вероятностей моделируемого и истинного векторов состояния идентичны только для кусочно-постоянных параметров.
Когда параметры являются кусочно-постоянными в течение каждого периода наблюдения, смоделированный процесс является точным для времени наблюдения, в которое отбирается Xt.
Гауссовы диффузионные модели, такие как hwv, разрешить отрицательные состояния. По умолчанию simBySolution ничто не препятствует негативным состояниям, равно как и не гарантирует, что модель будет строго умаленной. Таким образом, модель может демонстрировать неустойчивый или взрывной рост.
[1] Айт-Сахалия, Яцин. «Тестирование непрерывных временных моделей спотовой процентной ставки». Обзор финансовых исследований 9, № 2 (апрель 1996 года): 385-426.
[2] Айт-Сахалия, Яцин. «Плотности перехода для процентной ставки и других нелинейных диффузий». Журнал финансов 54, № 4 (август 1999 года): 1361-95.
[3] Глассермен, Пол. Методы Монте-Карло в финансовой инженерии. Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг, 2004.
[4] Халл, Джон К. Опционы, фьючерсы и другие деривативы. 7-е изд., Прентис Холл, 2009.
[5] Джонсон, Норман Ллойд, Сэмюэл Коц и Нараянасвами Балакришнан. Непрерывные одномерные распределения. 2-й ред. Серия Уайли в вероятностной и математической статистике. Нью-Йорк: Уайли, 1995.
[6] Шрив, Стивен Э. Стохастическое исчисление для финансов. Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг, 2004.
gbm | simByEuler | simBySolution | simulate