Моделирование многомерных стохастических дифференциальных уравнений (SDE)
[ моделирует Paths,Times,Z] = simulate(MDL)NTrials примеры путей NVars коррелированные переменные состояния, управляемые NBrowns Броуновские источники движения риска NPeriods последовательные периоды наблюдения, аппроксимирующие стохастические процессы непрерывного времени.
simulate принимает любой список входных аргументов переменной длины, на которые ссылается метод или функция моделирования SDE.Simulation параметр требует или принимает. Этот список ввода передается непосредственно соответствующему методу моделирования SDE или определяемой пользователем функции моделирования.
Рассмотрим европейский опцион на покупку одной базовой акции. Эволюция цены этой акции регулируется моделью геометрического броуновского движения (GBM) с постоянными параметрами:
Примите следующие характеристики:
Акции в настоящее время торгуются на уровне 105.
Акции не платят дивидендов.
Волатильность акций составляет 30% годовых.
Цена страйка опциона составляет 100.
Срок действия опции истекает через три месяца.
Барьер опциона - 120.
Безрисковая ставка постоянна и составляет 5% годовых.
Цель состоит в том, чтобы смоделировать различные пути ежедневных цен на акции и рассчитать цену барьерного опциона как нейтральное к риску выборочное среднее для дисконтированной выплаты терминального опциона. Поскольку это параметр барьера, необходимо также определить, пересекается ли барьер.
В этом примере выполняется антитетическая выборка путем явной установки Antithetic флаг для true, а затем определяет функцию обработки по окончании периода для записи максимальных и конечных цен на акции по каждому пути.
Создание модели GBM с помощью gbm.
barrier = 120; % barrier strike = 100; % exercise price rate = 0.05; % annualized risk-free rate sigma = 0.3; % annualized volatility nPeriods = 63; % 63 trading days dt = 1 / 252; % time increment = 252 days T = nPeriods * dt; % expiration time = 0.25 years obj = gbm(rate, sigma, 'StartState', 105);
Выполните маломасштабное моделирование, которое явно возвращает два моделируемых пути.
rng('default') % make output reproducible [X, T] = obj.simBySolution(nPeriods, 'DeltaTime', dt, ... 'nTrials', 2, 'Antithetic', true);
Выполнить антитетическую выборку таким образом, чтобы все первичный и антитетический пути были смоделированы и сохранены в последовательных согласующих парах. Нечетные пути (1,3,5,...) соответствуют первичным гауссовым путям. Чётные пути (2,4,6,...) - совпадающие антитетические пути каждой пары, полученные отрицанием гауссовых розыгрышей соответствующего первичного (нечётного) пути. Проверьте это, изучив соответствующие пути первичной/антитетической пары.
plot(T, X(:,:,1), 'blue', T, X(:,:,2), 'red') xlabel('Time (Years)'), ylabel('Stock Price'), ... title('Antithetic Sampling') legend({'Primary Path' 'Antithetic Path'}, ... 'Location', 'Best')
Чтобы оценить опцию европейского барьера, укажите функцию обработки на конец периода для записи максимальной и конечной цен на акции. Эта функция обработки доступна по времени и состоянию и реализуется как вложенная функция с доступом к совместно используемой информации, которая позволяет рассчитать цену опциона и соответствующую стандартную ошибку. Дополнительные сведения об использовании функции обработки на конец периода см. в разделе Опционы оценки собственного капитала.
Смоделировать 200 путей с помощью метода функции обработки.
rng('default') % make output reproducible barrier = 120; % barrier strike = 100; % exercise price rate = 0.05; % annualized risk-free rate sigma = 0.3; % annualized volatility nPeriods = 63; % 63 trading days dt = 1 / 252; % time increment = 252 days T = nPeriods * dt; % expiration time = 0.25 years obj = gbm(rate, sigma, 'StartState', 105); nPaths = 200; % # of paths = 100 sets of pairs f = Example_BarrierOption(nPeriods, nPaths); simulate(obj, nPeriods, 'DeltaTime' , dt, ... 'nTrials', nPaths, 'Antithetic', true, ... 'Processes', f.SaveMaxLast);
Приблизительная цена опциона с доверительным интервалом 95%.
optionPrice = f.OptionPrice(strike, rate, barrier);
standardError = f.StandardError(strike, rate, barrier,...
true);
lowerBound = optionPrice - 1.96 * standardError;
upperBound = optionPrice + 1.96 * standardError;
displaySummary(optionPrice, standardError, lowerBound, upperBound); Up-and-In Barrier Option Price: 6.6572
Standard Error of Price: 0.7292
Confidence Interval Lower Bound: 5.2280
Confidence Interval Upper Bound: 8.0864
Служебная функция
function displaySummary(optionPrice, standardError, lowerBound, upperBound) fprintf(' Up-and-In Barrier Option Price: %8.4f\n', ... optionPrice); fprintf(' Standard Error of Price: %8.4f\n', ... standardError); fprintf(' Confidence Interval Lower Bound: %8.4f\n', ... lowerBound); fprintf(' Confidence Interval Upper Bound: %8.4f\n', ... upperBound); end
Эта функция моделирует любой векторнозначный SDE вида:
| t, Xt) dWt | (1) |
X является NVars-by-1 вектор состояния переменных процесса (например, короткие ставки или цены акций) для моделирования.
W является NBrowns-by-1 Броуновский вектор движения.
F - NVars-by-1 векторнозначная функция скорости дрейфа.
G - функция скорости диффузии с матричным значением NVars-by-NBrowns.
[1] Аит-Сахалия, Y. «Тестирование непрерывных временных моделей спотовой процентной ставки». Обзор финансовых исследований, весна 1996 года, том 9, № 2, стр. 385-426.
[2] Ait-Sahalia, Y. «Переходные плотности для процентных ставок и других нелинейных диффузий». Журнал финансов, том 54, № 4, август 1999 года.
[3] Глассерман, P. Monte Carlo Methods in Financial Engineering. Нью-Йорк, Спрингер-Верлаг, 2004.
[4] Халл, Дж. К. Опционы, фьючерсы и другие деривативы, 5-е ред. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис Холл, 2002.
[5] Джонсон, Н. Л., С. Коц и Н. Балакришнан. Непрерывные одномерные распределения. Том 2, 2-й ред. Нью-Йорк, John Wiley & Sons, 1995.
[6] Шрив, С. Э. Стохастическое исчисление для финансов II: модели непрерывного времени. Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг, 2004.
bates | bm | cev | cir | gbm | heston | hwv | merton | sde | sdeddo | sdeld | sdemrd | simByEuler | simBySolution | simBySolution