Параметрические модели

Создание моделей броуновского движения (BM)

Модель броуновского движения (BM) (bm) происходит непосредственно от линейного дрейфа (sdeld) модель:

$_{dXt} = (t) dt +_{V}$ (t) dWt

Пример: Модели BM

Создать одномерное броуновское движение (bm) объект для представления модели с помощью bm:

$_{dXt} =_{}$ 0,3dВт.

obj = bm(0, 0.3) % (A = Mu, Sigma)

obj = 
   Class BM: Brownian Motion
   ----------------------------------------
     Dimensions: State = 1, Brownian = 1
   ----------------------------------------
      StartTime: 0
     StartState: 0
    Correlation: 1
          Drift: drift rate function F(t,X(t)) 
      Diffusion: diffusion rate function G(t,X(t)) 
     Simulation: simulation method/function simByEuler
             Mu: 0
          Sigma: 0.3

bm объекты отображают параметр A как более знакомый Mu.

bm объект также предоставляет перегруженный метод моделирования Эйлера, который улучшает производительность во время выполнения в некоторых распространенных ситуациях. Этот специализированный метод вызывается автоматически только при выполнении всех следующих условий:

Ожидаемая скорость дрейфа или тренда Mu является вектором-столбцом.
Коэффициент волатильности, Sigma, является матрицей.
Корректировки и/или процессы на конец периода не производятся.
Если указано, процесс случайного шума Z является трехмерным массивом.
Если Z не указан, предполагаемая структура гауссовой корреляции является двойной матрицей.

Создание моделей постоянной упругости дисперсии (CEV)

Модель постоянной упругости дисперсии (CEV) (cev) также происходит непосредственно от линейного дрейфа (sdeld) модель:

$_{dXt} = λ (_{t}) Xtdt +_{}^{D (t}, Xtα (_{t}$ )) V (t) dWt

cev объект ограничивает A NVarsоколо-1 вектор нулей. D - диагональная матрица, элементы которой являются соответствующим элементом вектора состояния X, возведенным в степень α (t).

Пример: Одномерные модели CEV

Создание одномерного cev объект для представления модели с использованием cev:

$_{dXt} = 0 ._{} 25Xt +_{}^{\frac{0}{}} ._{}$ 3Xt12dWt.

obj = cev(0.25, 0.5, 0.3) % (B = Return, Alpha, Sigma)

obj = 
   Class CEV: Constant Elasticity of Variance
   ------------------------------------------
     Dimensions: State = 1, Brownian = 1
   ------------------------------------------
      StartTime: 0
     StartState: 1
    Correlation: 1
          Drift: drift rate function F(t,X(t)) 
      Diffusion: diffusion rate function G(t,X(t)) 
     Simulation: simulation method/function simByEuler
         Return: 0.25
          Alpha: 0.5
          Sigma: 0.3

cev и gbm объекты отображают параметр B как более знакомый Return.

Создание моделей геометрического броуновского движения (GBM)

Модель геометрического броуновского движения (GBM) (gbm) непосредственно из CEV (cev) модель:

$_{dXt} = λ (_{t}) Xtdt +_{} D (t,_{Xt}$ ) V (t) dWt

По сравнению с cev объект, a gbm объект ограничивает все элементы вектора альфа-экспоненты таким образом, что D теперь является диагональной матрицей с вектором состояния X вдоль главной диагонали.

gbm объект также предоставляет два метода моделирования, которые могут использоваться разделяемыми моделями:

Перегруженный метод моделирования Эйлера, повышающий производительность во время выполнения в некоторых распространенных ситуациях. Этот специализированный метод вызывается автоматически, только если выполняются все следующие условия:
- Ожидаемая норма прибыли (Return) - диагональная матрица.
- Коэффициент волатильности (Sigma) - матрица.
- Корректировки/процессы на конец периода не выполняются.
- Если указано, процесс случайного шума Z является трехмерным массивом.
- Если Z не указан, предполагаемая структура гауссовой корреляции является двойной матрицей.
Приблизительное аналитическое решение (simBySolution), полученный применением подхода Эйлера к преобразованному (с использованием формулы Ито) логарифмическому процессу. В общем, это не является точным решением этой модели GBM, так как распределения вероятностей моделируемого и истинного векторов состояния идентичны только для кусочно-постоянных параметров. Если параметры модели являются кусочно постоянными в течение каждого периода наблюдения, вектор _Xt состояния логнормально распределяется, и смоделированный процесс является точным для времени наблюдения, в которое отбирается _Xt.

Пример: Одномерные модели GBM

Создание одномерного gbm объект для представления модели с использованием gbm:

$_{dXt} = 0_{} 25Xtdt +_{} 0_{.}$ 3XtdWt

obj = gbm(0.25, 0.3)  % (B = Return, Sigma)

obj = 
   Class GBM: Generalized Geometric Brownian Motion
   ------------------------------------------------
     Dimensions: State = 1, Brownian = 1
   ------------------------------------------------
      StartTime: 0
     StartState: 1
    Correlation: 1
          Drift: drift rate function F(t,X(t)) 
      Diffusion: diffusion rate function G(t,X(t)) 
     Simulation: simulation method/function simByEuler
         Return: 0.25
          Sigma: 0.3

Создание стохастических дифференциальных уравнений на основе моделей среднего реверсирующего дрейфа (SDEMRD)

sdemrd объект извлекается непосредственно из sdeddo объект. Он обеспечивает интерфейс, в котором функция скорости дрейфа выражается в форме дрейфа со средним возвращением:

$_{dXt} = S (t) [L_{(} t) - Xt]_{}^{dt +} D (t,_{}$ Xtα (t)) V (t) dWt

sdemrd объекты обеспечивают параметрическую альтернативу форме линейного дрейфа путем репараметризации общего линейного дрейфа так, что:

$A (t) = S (t) L (t), B ($ t) = − S (t)

Пример: модели SDEMRD

Создание sdemrd объект с использованием sdemrd с квадратным корнем для представления модели:

$_{dXt} = 0,2 (_{0,1} - Xt) {dt}_{}^{\frac{+}{}}_{}$ 0,05Xt12dWt.

obj = sdemrd(0.2, 0.1, 0.5, 0.05)

obj = 
   Class SDEMRD: SDE with Mean-Reverting Drift
   -------------------------------------------
     Dimensions: State = 1, Brownian = 1
   -------------------------------------------
      StartTime: 0
     StartState: 1
    Correlation: 1
          Drift: drift rate function F(t,X(t)) 
      Diffusion: diffusion rate function G(t,X(t)) 
     Simulation: simulation method/function simByEuler
          Alpha: 0.5
          Sigma: 0.05
          Level: 0.1
          Speed: 0.2

    % (Speed, Level, Alpha, Sigma)

sdemrd объекты отображают знакомые Speed и Level параметры вместо A и B.

Создание моделей диффузии квадратного корня Кокса-Ингерсолла-Росса (CIR)

Короткий объект Кокса-Ингерсолла-Росса (CIR), cir, происходит непосредственно от SDE со средним дрейфом возврата (sdemrd) класс:

$_{dXt} = S (t) [L_{(} t) - Xt]_{}^{\frac{dt}{}} + D (_{}$ t,Xt12) V (t) dWt

где D - диагональная матрица, элементы которой являются квадратным корнем соответствующего элемента вектора состояния.

Пример: модели CIR

Создать cir объект с использованием cir для представления той же модели, что и в примере модели SDEMRD:

obj = cir(0.2, 0.1, 0.05)  % (Speed, Level, Sigma)

obj = 
   Class CIR: Cox-Ingersoll-Ross
   ----------------------------------------
     Dimensions: State = 1, Brownian = 1
   ----------------------------------------
      StartTime: 0
     StartState: 1
    Correlation: 1
          Drift: drift rate function F(t,X(t)) 
      Diffusion: diffusion rate function G(t,X(t)) 
     Simulation: simulation method/function simByEuler
          Sigma: 0.05
          Level: 0.1
          Speed: 0.2

Хотя последние два объекта имеют разные классы, они представляют одну и ту же математическую модель. Они отличаются тем, что создается cir путем указания только трех входных аргументов. Это различие подкрепляется тем, что Alpha параметр не отображается - он определен как 1/2.

Создание гауссовых диффузионных моделей Hull-White/Vasicek (HWV)

Короткоскоростный объект Халл-Уайт/Васичек (HWV), hwv, вытекает непосредственно из SDE со средним реверсивным дрейфом (sdemrd) класс:

$_{dXt} = S (t) [L_{(} t) - Xt]_{dt}$ + V (t) dWt

Пример: Модели HWV

Используя те же параметры, что и в предыдущем примере, создайте hwv объект с использованием hwv для представления модели:

$_{dXt} = 0,2 (_{0,1} - Xt) dt_{+}$ 0,05dWt.

obj = hwv(0.2, 0.1, 0.05)  % (Speed, Level, Sigma)

obj = 
   Class HWV: Hull-White/Vasicek
   ----------------------------------------
     Dimensions: State = 1, Brownian = 1
   ----------------------------------------
      StartTime: 0
     StartState: 1
    Correlation: 1
          Drift: drift rate function F(t,X(t)) 
      Diffusion: diffusion rate function G(t,X(t)) 
     Simulation: simulation method/function simByEuler
          Sigma: 0.05
          Level: 0.1
          Speed: 0.2

cir и hwv использовать один и тот же интерфейс и методы отображения. Единственное различие заключается в том, что cir и hwv наложение зависимостей на объекты модели Alpha экспоненты к 1/2 и 0соответственно. Кроме того, hwv объект также предоставляет дополнительный метод, моделирующий приближенные аналитические решения (simBySolution) отдельных моделей. Этот метод моделирует вектор состояния _Xt с помощью аппроксимации замкнутого решения диагонального дрейфа HWV модели. Каждый элемент вектора состояния _Xt выражается как сумма NBrowns коррелированные гауссовы случайные розыгрыши, добавленные к детерминированному дрейфу временной переменной.

При вычислении выражений все параметры модели принимаются кусочно-постоянными в течение каждого периода моделирования. В общем, это не точное решение этого hwv модель, поскольку распределения вероятности моделируемого и истинного векторов состояния идентичны только для кусочно-постоянных параметров. Если S (t, Xt), L (_t, Xt) и V (t, Xt) являются кусочно постоянными в течение каждого периода наблюдения, _вектор состояния Xt обычно распределяется, и смоделированный процесс является точным для времени наблюдения, в _{которое} Xt отбирается.

Модели корпуса-белого и Васичека

Многие ссылки различают модели Vasicek и модели Hull-White. Там, где такие различия сделаны, параметры Васичека ограничены константами, в то время как параметры Халла-Уайта детерминированно изменяются со временем. Рассмотрим модели Vasicek в этом контексте как модели Hull-White с постоянным коэффициентом и эквивалентно модели Hull-White как изменяющиеся во времени модели Vasicek. Однако с архитектурной точки зрения различие между статическими и динамическими параметрами является тривиальным. Поскольку обе модели имеют одинаковую общую параметрическую спецификацию, как описано ранее, одна hwv объект охватывает модели.

Создание моделей стохастической волатильности Heston

Хестон (heston) объект извлекается непосредственно из SDE из дрейфа и диффузии (sdeddo) класс. Каждая модель Хестона является двухмерной композитной моделью, состоящей из двух связанных одномерных моделей:

_{dX1t} = B (_{t)} \sqrt{_{X1tdt}}_{+}_{}

X2tX1tdW1t

(1)

_{dX2t} = S (t) [L_{(t}) - X2t] \sqrt{_{dt}} +_{V}

(t) X2tdW2t

(2)

Уравнение 1 обычно связано с процессом определения цены. Уравнение 2 представляет эволюцию дисперсии ценового процесса. Модели типа heston обычно используются для оценки опционов на акции.

Пример: модели Heston

Создать heston объект с использованием heston для представления модели:

$\begin{array}{l} _{dX1t} =_{} \sqrt{{0,1X1tdt}_{+}}_{}_{} \\ _{} X2tX1tdW1tdX2t = {0,2}_{[} 0,1 − \sqrt{{X2t}_{]}} {dt}_{+} \end{array}$ 0,05X2tdW2t

obj = heston (0.1, 0.2, 0.1, 0.05)

obj = 
   Class HESTON: Heston Bivariate Stochastic Volatility
   ----------------------------------------------------
     Dimensions: State = 2, Brownian = 2
   ----------------------------------------------------
      StartTime: 0
     StartState: 1 (2x1 double array) 
    Correlation: 2x2 diagonal double array 
          Drift: drift rate function F(t,X(t)) 
      Diffusion: diffusion rate function G(t,X(t)) 
     Simulation: simulation method/function simByEuler
         Return: 0.1
          Speed: 0.2
          Level: 0.1
     Volatility: 0.05

См. также

Документация