Задайте инновационное распределение модели ошибок ARIMA

О инновационном процессе

Регрессионная модель с ошибками ARIMA имеет следующую общую форму:

\begin{matrix} y_{t} = c + X_{t} β + u_{t} \\ a (L) A (L) {(1 - L)}^{D} (1 - L^{s}) u_{t} = b (L) B (L) ε_{t}, \end{matrix}

(1)

где

t = 1..., T.
_yt - серия откликов.
_Xt - t строка X, которая является матрицей конкатенированных векторов данных предиктора. То есть _Xt является t наблюдения каждой серии предикторов.
c является регрессионной моделью точки пересечения.
β - коэффициент регрессии.
_ut - ряд нарушений порядка.
_εt - серия инноваций.
$L^{j} y_{t} = y_{t - j} .$
$a (L) = (1 - a_{1} L - ... - a_{p} L^{p}),$ который является p степени, несезональным авторегрессивным полиномом.
$A (L) = (1 - A_{1} L - ... - A_{p_{s}} L^{p_{s}}),$ который является _ps степени, сезонным авторегрессивным полиномом.
${(1 - L)}^{D},$ который является D степени, несезональным полиномом интегрирования.
$(1 - L^{s}),$ который является s степени, сезонным полиномом интегрирования.
$b (L) = (1 + b_{1} L + ... + b_{q} L^{q}),$ который является q степени, несезональным полиномом скользящего среднего значения.
$B (L) = (1 + B_{1} L + ... + B_{q_{s}} L^{q_{s}}),$ который является _qs степени, сезонным полиномом скользящего среднего значения.

Предположим, что безусловный ряд нарушений порядка (_ut) является стационарными стохастическими процессами. Затем можно выразить второе уравнение в Уравнении 1 как

$u_{t} = a^{- 1} (L) A^{- 1} (L) {(1 - L)}^{- D} {(1 - L^{s})}^{- 1} b (L) B (L) ε_{t} = Ψ (L) ε_{t},$

где Ψ (L) является полиномом оператора бесконечной степени [2].

Инновационный процесс (_εt) является независимым и идентично распределенным (iid), средним 0 процессом с известным распределением. Econometrics Toolbox™ обобщает инновационный процесс до _εt = _σzt, где _zt - это серия iid случайных переменных со средним значением 0 и отклонением 1 и σ² - постоянное отклонение _εt.

regARIMA модели содержат два свойства, которые описывают распределение _εt:

Variance хранит σ².
Distribution сохраняет параметрическую форму _zt.

Инновации Распределения Опций

Значение по умолчанию Variance является NaN, что означает, что инновационное отклонение неизвестно. Можно назначить положительную скалярную величину Variance когда вы задаете модель используя аргумент пары "имя-значение" 'Variance',sigma2 (где sigma2 = σ²), или путем изменения существующей модели с помощью записи через точку. Также можно оценить Variance использование estimate.
Можно задать следующие распределения для _zt (используя аргументы пары "имя-значение" или запись через точку):
- Стандартный Гауссов
- Стандартизированные t Студента со степенями свободы ν > 2. В частности,
  
  $z_{t} = T_{ν} \sqrt{\frac{ν - 2}{ν}},$
  где _Tν - t распределение Ученика со степенями свободы ν > 2.
Распределение t полезно для моделирования инноваций, которые являются более экстремальными, чем ожидалось, при распределении Гауссова. Такие инновационные процессы имеют excess kurtosis, более пиковое (или более тяжелое) распределение, чем Гауссов. Обратите внимание, что для ν > 4 куртоз (четвертый центральный момент) _Tν аналогичен куртозу Стандартизированной Студенческой t (_zt), то есть для t случайной переменной, куртоз является инвариантным по шкале.
Совет
Рекомендуется оценить распределительные свойства невязок, чтобы определить, подходит ли Гауссовское инновационное распределение (распределение по умолчанию) для вашей модели.

Укажите распределение инноваций

Открыть Live Script

regARIMA сохраняет распределение (и степени свободы для t-распределения) в Distribution свойство. Тип данных Distribution является struct массив с потенциально двумя полями: Name и DoF.

Если нововведения Гауссовы, то Name поле Gaussianи нет DoF поле. regARIMA устанавливает Distribution на Gaussian по умолчанию.
Если нововведения t-распределены, то Name поле t и DoF поле NaN по умолчанию или можно задать скаляр, который больше 2.

Чтобы проиллюстрировать определение распределения, рассмотрим эту регрессионую модель с ошибками AR (2):

$\begin{array}{rcl} y_{t} & = & c + X_{t} β + u_{t} \\ u_{t} & = & α_{1} u_{t - 1} + α_{2} u_{t - 2} + ε_{t} \end{array}$

Mdl = regARIMA(2,0,0);
Mdl.Distribution

ans = struct with fields:
    Name: "Gaussian"

По умолчанию Distribution свойство Mdl является struct массив с полем Name имеющее значение Gaussian.

Если вы хотите задать распределение инноваций t, то можно либо задать модель с помощью аргумента пары "имя-значение" 'Distribution','t', или используйте запись через точку для изменения существующей модели.

Задайте модель с помощью аргумента пары "имя-значение".

Mdl = regARIMA('ARLags',1:2,'Distribution','t');
Mdl.Distribution

ans = struct with fields:
    Name: "t"
     DoF: NaN

Если вы используете аргумент пары "имя-значение", чтобы задать распределение t инноваций, то по умолчанию степени свободы NaN.

Можно использовать запись через точку, чтобы получить тот же результат.

Mdl = regARIMA(2,0,0);
Mdl.Distribution = 't'

Mdl = 
  regARIMA with properties:

     Description: "ARMA(2,0) Error Model (t Distribution)"
    Distribution: Name = "t", DoF = NaN
       Intercept: NaN
            Beta: [1×0]
               P: 2
               Q: 0
              AR: {NaN NaN} at lags [1 2]
             SAR: {}
              MA: {}
             SMA: {}
        Variance: NaN

Если инновационное распределение $t_{10}$ , затем можно использовать запись через точку для изменения Distribution свойство существующей модели Mdl. Вы не можете изменять поля Distribution использование записи через точку, например Mdl.Distribution.DoF = 10 не является назначением значений. Однако вы можете отобразить значение полей с помощью записи через точку.

Mdl.Distribution = struct('Name','t','DoF',10)

Mdl = 
  regARIMA with properties:

     Description: "ARMA(2,0) Error Model (t Distribution)"
    Distribution: Name = "t", DoF = 10
       Intercept: NaN
            Beta: [1×0]
               P: 2
               Q: 0
              AR: {NaN NaN} at lags [1 2]
             SAR: {}
              MA: {}
             SMA: {}
        Variance: NaN

tDistributionDoF = Mdl.Distribution.DoF

tDistributionDoF = 10

Начиная с DoF поле не является NaN, это ограничение равенства, когда вы оцениваете Mdl использование estimate.

Кроме того, можно задать $t_{10}$ инновационное распределение с использованием аргумента пары "имя-значение".

Mdl = regARIMA('ARLags',1:2,'Intercept',0,...
    'Distribution',struct('Name','t','DoF',10))

Mdl = 
  regARIMA with properties:

     Description: "ARMA(2,0) Error Model (t Distribution)"
    Distribution: Name = "t", DoF = 10
       Intercept: 0
            Beta: [1×0]
               P: 2
               Q: 0
              AR: {NaN NaN} at lags [1 2]
             SAR: {}
              MA: {}
             SMA: {}
        Variance: NaN

Ссылки

[1] Box, G. E. P., G. M. Jenkins, and G. C. Reinsel. Анализ временных рядов: прогнозирование и управление. 3-й эд. Englewood Cliffs, Нью-Джерси: Prentice Hall, 1994.

[2] Wold, H. A Study in the Analysis of Stationary Time Series. Уппсала, Швеция: Almqvist & Wiksell, 1938.

См. также

Подробнее о

Регрессионные модели с ошибками временных рядов

Документация