Распределение Хи-квадрат

Обзор

Хи-квадрат (χ²) распределение является однопараметрическим семейством кривых. Распределение хи-квадрат обычно используется в проверке гипотез, особенно тест хи-квадрат на качество подгонки.

Statistics and Machine Learning Toolbox™ предлагает несколько способов работы с распределением хи-квадрат.

Используйте специфичные для распределения функции (chi2cdf, chi2inv, chi2pdf, chi2rnd, chi2stat) с заданными параметрами распределения. Функции, специфичные для распределения, могут принимать параметры нескольких распределений хи-квадрат.
Используйте родовые функции распределения (cdf, icdf, pdf, random) с заданным именем распределения ('Chisquare') и параметры.

Параметры

В распределении хи-квадрат используется следующий параметр.

Параметр	Описание	Поддержка
nu (ν)	Степени свободы	<reservedrangesplaceholder1> <reservedrangesplaceholder0>

Параметр степеней свободы обычно является целым числом, но функции хи-квадрат принимают любое положительное значение.

Сумма двух случайных переменных хи-квадрат со степенями свободы ν 1 и _ν 2 является случайной переменной хи-квадрат со степенями свободы ν = ν 1 ₊ ν 2.

Функция плотности вероятностей

Функция плотности вероятностей (pdf) распределения хи-квадрат является

$y = f (x | ν) = \frac{x^{(ν - 2) / 2} e^{- x / 2}}{2^{\frac{ν}{2}} Γ (ν / 2)},$

где ν - степени свободы, а Β (·) - Гамма-функция.

Для получения примера смотрите Compute Chi-Square Distribution pdf.

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения (cdf) распределения хи-квадрат является

$p = F (x | ν) = \int_{0}^{x} \frac{t^{(ν - 2) / 2} e^{- t / 2}}{2^{ν / 2} Γ (ν / 2)} d t,$

где ν - степени свободы, а Β (·) - Гамма-функция. Результатом p является вероятность того, что одно наблюдение из распределения хи-квадрат с ν степенями свободы падает в интервале [0, x].

Для получения примера смотрите Вычисление площади Хи Распределения cdf.

Обратная кумулятивная функция распределения

Обратная совокупная функция распределения (icdf) распределения хи-квадрат является

$x = F^{- 1} (p | ν) = {x : F (x | ν) = p},$

где

$p = F (x | ν) = \int_{0}^{x} \frac{t^{(ν - 2) / 2} e^{- t / 2}}{2^{ν / 2} Γ (ν / 2)} d t,$

ν - степени свободы, а Β (·) - это Гамма-функция. Результатом p является вероятность того, что одно наблюдение из распределения хи-квадрат с ν степенями свободы падает в интервале [0, x].

Описательная статистика

Среднее значение распределения хи-квадрат ν.

Распределение хи-квадрат отклонения 2 ν.

Примеры

Расчетное распределение Хи-квадрат PDF

Открыть Live Script

Вычислите PDF распределения хи-квадрат с 4 степенями свободы.

x = 0:0.2:15;
y = chi2pdf(x,4);

Постройте график PDF.

figure;
plot(x,y)
xlabel('Observation')
ylabel('Probability Density')

Figure contains an axes. The axes contains an object of type line.

Распределение хи-квадрат смещено вправо, особенно для нескольких степеней свободы.

Вычисление распределения Хи-квадрат cdf

Открыть Live Script

Вычислите cdf распределения хи-квадрат с 4 степенями свободы.

x = 0:0.2:15;
y = chi2cdf(x,4);

Постройте график cdf.

figure;
plot(x,y)
xlabel('Observation')
ylabel('Cumulative Probability')

Figure contains an axes. The axes contains an object of type line.

Связанные распределения

Распределение F - распределение F является двухпараметрическим распределением, которое имеет параметры ν 1 (степени свободы числителя) и _ν 2 (степени свободы знаменателя). Распределение F может быть определено как отношение $F = \frac{\frac{χ_{1}^{2}}{ν_{1}}}{\frac{χ_{2}^{2}}{ν_{2}}}$ , где χ²₁и χ²₂ оба хи-квадрата распределены ν 1 и _ν 2 степенями свободы, соответственно.
Гамма-Распределение - гамма-распределение является двухпараметрическим непрерывным распределением, которое имеет параметры a (форма) и b (шкалу). Распределение хи-квадрат равно гамма-распределению с 2a = ν и b = 2.
Нецентральное Распределение Хи-Квадрат - нецентральное распределение хи-квадрат является двухпараметрическим непрерывным распределением, которое имеет параметры ν (степени свободы) и δ (нецентральность). Нецентральное распределение хи-квадрат равно распределению хи-квадрат при δ = 0.
Нормальное Распределение - нормальное распределение является двухпараметрическим непрерывным распределением, которое имеет параметры μ (среднее) и σ (стандартное отклонение). Стандартное нормальное распределение происходит, когда μ = 0 и σ = 1.
Если Z 1, _Z 2..., Z n являются стандартными нормальными случайными переменными, то $\sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2}$ имеет хи-квадратное распределение со степенями свободы ν = n - 1.
Если набор n наблюдений обычно распределен с отклонением σ² и выборочное отклонение s², затем $\frac{(n - 1) s^{2}}{σ^{2}}$ имеет хи-квадратное распределение со степенями свободы ν = n - 1. Эта связь используется для вычисления доверительных интервалов для оценки нормального параметра σ² в функции normfit.
Распределение t Студента - распределение t Студента является непрерывным распределением с одним параметром, которое имеет ν параметра (степени свободы). Если Z имеет стандартное нормальное распределение и χ² имеет распределение хи-квадрат со степенями свободы ν, затем $t = \frac{Z}{\sqrt{χ^{2} / ν}}$ имеет распределение t Студента со степенями свободы ν.
Wishart Distribution - Распределение Wishart является более высоким размерным аналогом распределения хи-квадрат.

Ссылки

[1] Abramowitz, Milton, and Irene A. Stegun, eds. Справочник по математическим функциям: с формулами, графиками и математическими таблицами. 9. Dover print.; [Нахдр. дер Аусг. фон 1972]. Книги Дувра по математике. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Dover Publ, 2013.

[2] Девройе, Люк Неоднородный Генерация случайных переменных. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Спрингер Нью-Йорк, 1986. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8643-8

[3] Эванс, М., Н. Гастингс и Б. Пикок. Статистические распределения. 2-е изд., Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons, Inc., 1993.

[4] Крейшиг, Эрвин. Вводная математическая статистика: принципы и методы. Нью-Йорк: Уайли, 1970.

См. также

Документация