Распределение студента

Обзор

Распределение t Студента является однопараметрическим семейством кривых. Это распределение обычно используется для проверки гипотезы о среднем населении, когда стандартное отклонение населения неизвестно.

Statistics and Machine Learning Toolbox™ предлагает несколько способов работать с распределением t студента.

Используйте специфичные для распределения функции (tcdf, tinv, tpdf, trnd, tstat) с заданными параметрами распределения. Функции, специфичные для распределения, могут принимать параметры нескольких распределений t Student.
Используйте родовые функции распределения (cdf, icdf, pdf, random) с заданным именем распределения ('T') и параметры.

Параметры

В распределении t студента используется следующий параметр.

Параметр	Описание	Поддержка
nu (ν)	Степени свободы	<reservedrangesplaceholder1> <reservedrangesplaceholder0>

Функция плотности вероятностей

PDF распределения t студента:

$y = f (x | ν) = \frac{Γ (\frac{ν + 1}{2})}{Γ (\frac{ν}{2})} \frac{1}{\sqrt{ν π}} \frac{1}{{(1 + \frac{x^{2}}{ν})}^{\frac{ν + 1}{2}}},$

где ν - степени свободы, а Β (·) - Гамма-функция. Результатом y является вероятность наблюдения определенного значения x из распределения t Студента с ν степенями свободы.

Для получения примера смотрите Compute и График Student t Распределения pdf.

Кумулятивная функция распределения

cdf распределения t Студента

$p = F (x | ν) = \int_{- \infty}^{x} \frac{Γ (\frac{ν + 1}{2})}{Γ (\frac{ν}{2})} \frac{1}{\sqrt{ν π}} \frac{1}{{(1 + \frac{t^{2}}{ν})}^{\frac{ν + 1}{2}}} d t,$

где ν - степени свободы, а Β (·) - Гамма-функция. Результатом p является вероятность того, что одно наблюдение из распределения t с ν степенями свободы падает в интервале [- ∞, x].

Для получения примера смотрите Вычисление и График t Распределения cdf Студента.

Обратная кумулятивная функция распределения

Обратная функция t определяется в терминах t cdf Студента как

$x = F^{- 1} (p | ν) = {x : F (x | ν) = p},$

где

$p = F (x | ν) = \int_{- \infty}^{x} \frac{Γ (\frac{ν + 1}{2})}{Γ (\frac{ν}{2})} \frac{1}{\sqrt{ν π}} \frac{1}{{(1 + \frac{t^{2}}{ν})}^{\frac{ν + 1}{2}}} d t,$

ν - степени свободы, а Β (·) - это Гамма-функция. Результатом x является решение интегрального уравнения, где вы задаете p вероятности.

Для получения примера смотрите Compute Student's t icdf.

Описательная статистика

Среднее значение t распределения Студента μ = 0 для степеней свободы ν больше 1. Если ν равен 1, то среднее значение не определено.

Отклонение распределения t Студента $\frac{ν}{ν - 2}$ для степеней свободы ν более 2. Если ν меньше или равно 2, то отклонение не определено.

Примеры

Вычисление и построение `t` студента Распределение PDF

Открыть Live Script

Вычислите PDF t- распределения Студента со степенями свободы, равными 5, 10, и 50.

x = [-5:.1:5];
y1 = tpdf(x,5);
y2 = tpdf(x,10);
y3 = tpdf(x,50);

Постройте график PDF для всех трех вариантов nu на той же оси.

figure;
plot(x,y1,'Color','black','LineStyle','-')
hold on
plot(x,y2,'Color','red','LineStyle','-.')
plot(x,y3,'Color','blue','LineStyle','--')
xlabel('Observation')
ylabel('Probability Density')
legend({'nu = 5','nu = 10','nu = 50'})
hold off

Figure contains an axes. The axes contains 3 objects of type line. These objects represent nu = 5, nu = 10, nu = 50.

Вычисление и построение `t` студента Распределение cdf

Открыть Live Script

Вычислите cdf t- распределения Студента со степенями свободы, равными 5, 10, и 50.

x = [-5:.1:5];
y1 = tcdf(x,5);
y2 = tcdf(x,10);
y3 = tcdf(x,50);

Постройте график cdf для всех трех вариантов nu на той же оси.

figure;
plot(x,y1,'Color','black','LineStyle','-')
hold on
plot(x,y2,'Color','red','LineStyle','-.')
plot(x,y3,'Color','blue','LineStyle','--')
xlabel('Observation')
ylabel('Cumulative Probability')
legend({'nu = 5','nu = 10','nu = 50'})
hold off

Figure contains an axes. The axes contains 3 objects of type line. These objects represent nu = 5, nu = 10, nu = 50.

Compute Student's t icdf

Открыть Live Script

Найдите 95-й процентиль распределения Student's с 50 степени свободы.

p = .95;   
nu = 50;   
x = tinv(p,nu)

x = 1.6759

Сравнение `t` студента и Normal Distribution PDFS

Открыть Live Script

t распределения Ученика является семейством кривых в зависимости от единственного параметра Когда степени свободы и приближаются к бесконечности, распределение t приближается к стандартному нормальному распределению.

Вычислите PDFS для распределения Student's t с параметром nu = 5 и распределение Student t с параметром nu = 15.

x = [-5:0.1:5];
y1 = tpdf(x,5);
y2 = tpdf(x,15);

Рассчитать PDF для стандартного нормального распределения.

z = normpdf(x,0,1);

Постройте график t PDFS студента и стандартного обычного PDF на том же рисунке.

plot(x,y1,'-.',x,y2,'--',x,z,'-')
legend('Student''s t Distribution with \nu=5', ...
    'Student''s t Distribution with \nu=15', ...
    'Standard Normal Distribution','Location','best')
xlabel('Observation')
ylabel('Probability Density')
title('Student''s t and Standard Normal pdfs')

$Figure contains an axes. The axes with title Student's t and Standard Normal pdfs contains 3 objects of type line. These objects represent Student's t Distribution with \nu=5, Student's t Distribution with \nu=15, Standard Normal Distribution.$

Стандартный обычный PDF имеет более короткие хвосты, чем Student's t pdfs.

Связанные распределения

Бета-распределение - бета-распределение является двухпараметрическим непрерывным распределением, которое имеет параметры a (первый параметр формы) и b (второй параметр формы). Если у Y есть распределение t Студента с ν степенями свободы, то $X = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \frac{Y}{\sqrt{ν + Y^{2}}}$ имеет бета- распределение с параметрами формы a = ν/2 и b = ν/2. Эта связь используется для вычисления значений t cdf и обратных функций и для генерации t распределенных случайных чисел.
Распределение Коши - Распределение Коши является двухпараметрическим непрерывным распределением с параметрами γ (шкала) и δ (расположение). Это частный случай Стабильного Распределения с параметрами формы α = 1 и β = 0. Стандартное распределение Коши (модуль и нулевое положение) является t распределением Студента со степенями свободы ν равными 1. Стандартное распределение Коши имеет неопределенное среднее значение и отклонение.
Для получения примера смотрите Сгенерировать случайные числа Коши, используя Student's t.
Распределение Хи-квадрат - распределение хи-квадрат является непрерывным распределением с одним параметром, которое имеет ν параметра (степени свободы). Если Z имеет стандартное нормальное распределение и χ² имеет распределение хи-квадрат со степенями свободы ν, затем $t = \frac{Z}{\sqrt{χ^{2} / ν}}$ имеет распределение t Студента со степенями свободы ν.
Нецентральное Распределение t - нецентральное распределение t является двухпараметрическим непрерывным распределением, которое обобщает распределение t Студента и имеет параметры ν (степени свободы) и δ (нецентральность). Установка δ = 0 приводит к распределению t Студента.
Нормальное Распределение - нормальное распределение является двухпараметрическим непрерывным распределением с параметрами μ (среднее) и σ (стандартное отклонение).
Когда степени свободы ν приближаются к бесконечности, распределение t Студента приближается к стандартному нормальному распределению (нулевое среднее и единичное стандартное отклонение).
Для получения примера смотрите Сравнение t и Normal Распределения PDFS
Если x является случайной выборкой размера, n из нормального распределения со средним μ, то статистическая $t = \frac{\bar{x} - μ}{s / \sqrt{n}}$ , где $\bar{x}$ - это среднее значение выборки, а s - стандартное отклонение выборки, имеет распределение t Студента с n - 1 степенями свободы.
Для получения примера смотрите Compute Student's t Распределения cdf.
t Распределение шкалы местоположения - t распределение шкалы местоположения является трехпараметрическим непрерывным распределением с параметрами μ (среднее), σ (шкала) и ν (форма). Если у x есть t распределение шкалы местоположения с параметрами µ, σ и ν, то $\frac{x - μ}{σ}$ имеет распределение t Студента с ν степенями свободы.

Ссылки

[1] Abramowitz, Milton, and Irene A. Stegun, eds. Справочник по математическим функциям: с формулами, графиками и математическими таблицами. 9. Dover print.; [Нахдр. дер Аусг. фон 1972]. Книги Дувра по математике. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Dover Publ, 2013.

[2] Девройе, Люк Неоднородный Генерация случайных переменных. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Спрингер Нью-Йорк, 1986. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8643-8

[3] Эванс, Мерран, Николас Гастингс и Брайан Пикок. Статистические распределения. 2-й ред. Нью-Йорк: Дж. Уайли, 1993.

[4] Крейшиг, Эрвин. Вводная математическая статистика: принципы и методы. Нью-Йорк: Уайли, 1970.

См. также

Документация