Распределение студента

Обзор

Распределение t Студента является однопараметрическим семейством кривых. Это распределение обычно используется для проверки гипотезы о среднем населении, когда стандартное отклонение населения неизвестно.

Statistics and Machine Learning Toolbox™ предлагает несколько способов работать с распределением t студента.

  • Используйте специфичные для распределения функции (tcdf, tinv, tpdf, trnd, tstat) с заданными параметрами распределения. Функции, специфичные для распределения, могут принимать параметры нескольких распределений t Student.

  • Используйте родовые функции распределения (cdf, icdf, pdf, random) с заданным именем распределения ('T') и параметры.

Параметры

В распределении t студента используется следующий параметр.

ПараметрОписаниеПоддержка
nu (ν)Степени свободы<reservedrangesplaceholder1> <reservedrangesplaceholder0>

Функция плотности вероятностей

PDF распределения t студента:

y=f(x|ν)=Γ(ν+12)Γ(ν2)1νπ1(1+x2ν)ν+12,

где ν - степени свободы, а Β  (·) - Гамма-функция. Результатом y является вероятность наблюдения определенного значения x из распределения t Студента с ν степенями свободы.

Для получения примера смотрите Compute и График Student t Распределения pdf.

Кумулятивная функция распределения

cdf распределения t Студента

p=F(x|ν)=xΓ(ν+12)Γ(ν2)1νπ1(1+t2ν)ν+12dt,

где ν - степени свободы, а Β  (·) - Гамма-функция. Результатом p является вероятность того, что одно наблюдение из распределения t с ν степенями свободы падает в интервале [- ∞, x].

Для получения примера смотрите Вычисление и График t Распределения cdf Студента.

Обратная кумулятивная функция распределения

Обратная функция t определяется в терминах t cdf Студента как

x=F1(p|ν)={x:F(x|ν)=p},

где

p=F(x|ν)=xΓ(ν+12)Γ(ν2)1νπ1(1+t2ν)ν+12dt,

ν - степени свободы, а Β  (·) - это Гамма-функция. Результатом x является решение интегрального уравнения, где вы задаете p вероятности.

Для получения примера смотрите Compute Student's t icdf.

Описательная статистика

Среднее значение t распределения Студента μ = 0 для степеней свободы ν больше 1. Если ν равен 1, то среднее значение не определено.

Отклонение распределения t Студента νν2 для степеней свободы ν более 2. Если ν меньше или равно 2, то отклонение не определено.

Примеры

Вычисление и построение t студента Распределение PDF

Вычислите PDF t- распределения Студента со степенями свободы, равными 5, 10, и 50.

x = [-5:.1:5];
y1 = tpdf(x,5);
y2 = tpdf(x,10);
y3 = tpdf(x,50);

Постройте график PDF для всех трех вариантов nu на той же оси.

figure;
plot(x,y1,'Color','black','LineStyle','-')
hold on
plot(x,y2,'Color','red','LineStyle','-.')
plot(x,y3,'Color','blue','LineStyle','--')
xlabel('Observation')
ylabel('Probability Density')
legend({'nu = 5','nu = 10','nu = 50'})
hold off

Figure contains an axes. The axes contains 3 objects of type line. These objects represent nu = 5, nu = 10, nu = 50.

Вычисление и построение t студента Распределение cdf

Вычислите cdf t- распределения Студента со степенями свободы, равными 5, 10, и 50.

x = [-5:.1:5];
y1 = tcdf(x,5);
y2 = tcdf(x,10);
y3 = tcdf(x,50);

Постройте график cdf для всех трех вариантов nu на той же оси.

figure;
plot(x,y1,'Color','black','LineStyle','-')
hold on
plot(x,y2,'Color','red','LineStyle','-.')
plot(x,y3,'Color','blue','LineStyle','--')
xlabel('Observation')
ylabel('Cumulative Probability')
legend({'nu = 5','nu = 10','nu = 50'})
hold off

Figure contains an axes. The axes contains 3 objects of type line. These objects represent nu = 5, nu = 10, nu = 50.

Compute Student's t icdf

Найдите 95-й процентиль распределения Student's с 50 степени свободы.

p = .95;   
nu = 50;   
x = tinv(p,nu)
x = 1.6759

Сравнение t студента и Normal Distribution PDFS

t распределения Ученика является семейством кривых в зависимости от единственного параметра Когда степени свободы и приближаются к бесконечности, распределение t приближается к стандартному нормальному распределению.

Вычислите PDFS для распределения Student's t с параметром nu = 5 и распределение Student t с параметром nu = 15.

x = [-5:0.1:5];
y1 = tpdf(x,5);
y2 = tpdf(x,15);

Рассчитать PDF для стандартного нормального распределения.

z = normpdf(x,0,1);

Постройте график t PDFS студента и стандартного обычного PDF на том же рисунке.

plot(x,y1,'-.',x,y2,'--',x,z,'-')
legend('Student''s t Distribution with \nu=5', ...
    'Student''s t Distribution with \nu=15', ...
    'Standard Normal Distribution','Location','best')
xlabel('Observation')
ylabel('Probability Density')
title('Student''s t and Standard Normal pdfs')

Figure contains an axes. The axes with title Student's t and Standard Normal pdfs contains 3 objects of type line. These objects represent Student's t Distribution with \nu=5, Student's t Distribution with \nu=15, Standard Normal Distribution.

Стандартный обычный PDF имеет более короткие хвосты, чем Student's t pdfs.

Связанные распределения

  • Бета-распределение - бета-распределение является двухпараметрическим непрерывным распределением, которое имеет параметры a (первый параметр формы) и b (второй параметр формы). Если у Y есть распределение t Студента с ν степенями свободы, то X=12+12Yν+Y2 имеет бета- распределение с параметрами формы a = ν/2 и b = ν/2. Эта связь используется для вычисления значений t cdf и обратных функций и для генерации t распределенных случайных чисел.

  • Распределение Коши - Распределение Коши является двухпараметрическим непрерывным распределением с параметрами γ (шкала) и δ (расположение). Это частный случай Стабильного Распределения с параметрами формы α = 1 и β = 0. Стандартное распределение Коши (модуль и нулевое положение) является t распределением Студента со степенями свободы ν равными 1. Стандартное распределение Коши имеет неопределенное среднее значение и отклонение.

    Для получения примера смотрите Сгенерировать случайные числа Коши, используя Student's t.

  • Распределение Хи-квадрат - распределение хи-квадрат является непрерывным распределением с одним параметром, которое имеет ν параметра (степени свободы). Если Z имеет стандартное нормальное распределение и χ2 имеет распределение хи-квадрат со степенями свободы ν, затем t = Zχ2/ν имеет распределение t Студента со степенями свободы ν.

  • Нецентральное Распределение t - нецентральное распределение t является двухпараметрическим непрерывным распределением, которое обобщает распределение t Студента и имеет параметры ν (степени свободы) и δ (нецентральность). Установка δ = 0 приводит к распределению t Студента.

  • Нормальное Распределение - нормальное распределение является двухпараметрическим непрерывным распределением с параметрами μ (среднее) и σ (стандартное отклонение).

    Когда степени свободы ν приближаются к бесконечности, распределение t Студента приближается к стандартному нормальному распределению (нулевое среднее и единичное стандартное отклонение).

    Для получения примера смотрите Сравнение t и Normal Распределения PDFS

    Если x является случайной выборкой размера, n из нормального распределения со средним μ, то статистическая t=x¯μs/n, где x¯ - это среднее значение выборки, а s - стандартное отклонение выборки, имеет распределение t Студента с n - 1 степенями свободы.

    Для получения примера смотрите Compute Student's t Распределения cdf.

  • t Распределение шкалы местоположения - t распределение шкалы местоположения является трехпараметрическим непрерывным распределением с параметрами μ (среднее), σ (шкала) и ν (форма). Если у x есть t распределение шкалы местоположения с параметрами µ, σ и ν, то xμσ имеет распределение t Студента с ν степенями свободы.

Ссылки

[1] Abramowitz, Milton, and Irene A. Stegun, eds. Справочник по математическим функциям: с формулами, графиками и математическими таблицами. 9. Dover print.; [Нахдр. дер Аусг. фон 1972]. Книги Дувра по математике. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Dover Publ, 2013.

[2] Девройе, Люк Неоднородный Генерация случайных переменных. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Спрингер Нью-Йорк, 1986. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8643-8

[3] Эванс, Мерран, Николас Гастингс и Брайан Пикок. Статистические распределения. 2-й ред. Нью-Йорк: Дж. Уайли, 1993.

[4] Крейшиг, Эрвин. Вводная математическая статистика: принципы и методы. Нью-Йорк: Уайли, 1970.

См. также

| | | | | |

Похожие темы