Равномерное распределение (непрерывное)

Обзор

Равномерное распределение (также называемое прямоугольным распределением) является двухпараметрическим семейством кривых, которое примечательно, потому что оно имеет постоянную функцию распределения вероятностей (pdf) между двумя ограничивающими параметрами. Это распределение подходит для представления распределения ошибок округления в значениях, сведенных в таблицу к конкретному числу десятичных знаков. Равномерное распределение используется в методах генерации случайных чисел, таких как метод инверсии.

Statistics and Machine Learning Toolbox™ предлагает несколько способов работать с равномерным распределением.

Создайте объект распределения вероятностей UniformDistribution путем настройки значений параметров (makedist). Затем используйте функции объекта, чтобы вычислить распределение, сгенерировать случайные числа и так далее.
Используйте специфичные для распределения функции (unifcdf, unifpdf, unifinv, unifit, unifstat, unifrnd) с заданными параметрами распределения. Функции, специфичные для распределения, могут принимать параметры нескольких равномерных распределений.
Используйте родовые функции распределения (cdf, icdf, pdf, random) с заданным именем распределения ('Uniform') и параметры.

Параметры

Равномерное распределение использует следующие параметры.

Параметр	Описание	Поддержка
`a`	Нижняя конечная точка	-∞ <a <b
`b`	Верхняя конечная точка	a <b <∞

Стандартное равномерное распределение имеет a = 0 и b = 1.

Оценка параметра

Максимальные оценки правдоподобия (MLE) являются оценками параметра, которые максимизируют функцию правдоподобия. Максимальные оценки правдоподобия a и b для равномерного распределения являются минимальными и максимальными выборками, соответственно.

Чтобы подогнать равномерное распределение к данным и найти оценки параметров, используйте unifit или mle.

Функция плотности вероятностей

PDF равномерного распределения:

$f (x | a, b) = {\begin{matrix} (\frac{1}{b - a}); a \leq x \leq b \\ 0; o t h e r w i s e \end{matrix} .$

PDF является постоянным между a и b.

Для получения примера смотрите Compute Continuous Uniform Распределения pdf.

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения (cdf) равномерного распределения

$F (x | a, b) = {\begin{matrix} 0; x < a \\ \frac{x - a}{b - a}; a \leq x < b \\ 1; x \geq b \end{matrix} .$

Результатом p является вероятность того, что одно наблюдение из равномерного распределения с параметрами a и b падает в интервале [a x].

Для получения примера смотрите Compute Continuous Uniform Distribution cdf.

Описательная статистика

Среднее значение равномерного распределения $μ = \frac{1}{2} (a + b)$ .

Отклонение равномерного распределения $σ^{2} = \frac{1}{12} {(b - a)}^{2}$ .

Генерация случайных чисел

Можно использовать стандартное равномерное распределение, чтобы сгенерировать случайные числа для любого другого непрерывного распределения методом инверсии. Метод инверсии основывается на принципе, что непрерывные совокупные функции распределения (cdfs) равномерно варьируются в открытом интервале (0, 1). Если u является равномерным случайным числом на (0, 1), то x = F^–1(u) генерирует случайное число, x из непрерывного распределения с заданным cdf F.

Для получения примера смотрите Сгенерировать случайные числа Используя Равномерную Инверсию Распределения.

Примеры

Вычисление непрерывного равномерного распределения PDF

Открыть Live Script

Создайте три равномерных объекта распределения с различными параметрами.

pd1 = makedist('Uniform');                      % Standard uniform distribution
pd2 = makedist('Uniform','lower',-2,'upper',2); % Uniform distribution with a = -2 and b = 2
pd3 = makedist('Uniform','lower',-2,'upper',1); % Uniform distribution with a = -2 and b = 1

Вычислите PDFS для трёх равномерных распределений.

x = -3:.01:3;
pdf1 = pdf(pd1,x);
pdf2 = pdf(pd2,x);
pdf3 = pdf(pd3,x);

Постройте график PDFS на той же оси.

figure;
plot(x,pdf1,'r','LineWidth',2); 
hold on;
plot(x,pdf2,'k:','LineWidth',2);
plot(x,pdf3,'b-.','LineWidth',2);
legend({'a = 0, b = 1','a = -2, b = 2','a = -2, b = 1'},'Location','northwest');
xlabel('Observation')
ylabel('Probability Density')
hold off;

Figure contains an axes. The axes contains 3 objects of type line. These objects represent a = 0, b = 1, a = -2, b = 2, a = -2, b = 1.

Как ширина интервала (a,b) увеличивается, уменьшается высота каждого PDF.

Вычисление непрерывного равномерного распределения cdf

Открыть Live Script

Создайте три равномерных объекта распределения с различными параметрами.

pd1 = makedist('Uniform');                      % Standard uniform distribution
pd2 = makedist('Uniform','lower',-2,'upper',2); % Uniform distribution with a = -2 and b = 2
pd3 = makedist('Uniform','lower',-2,'upper',1); % Uniform distribution with a = -2 and b = 1

Вычислите cdfs для трёх равномерных распределений.

x = -3:.01:3;
cdf1 = cdf(pd1,x);
cdf2 = cdf(pd2,x);
cdf3 = cdf(pd3,x);

Постройте график cdfs на той же оси.

figure;
plot(x,cdf1,'r','LineWidth',2); 
hold on;
plot(x,cdf2,'k:','LineWidth',2);
plot(x,cdf3,'b-.','LineWidth',2);
legend({'a = 0, b = 1','a = -2, b = 2','a = -2, b = 1'},'Location','NW');
xlabel('Observation')
ylabel('Cumulative Probability')
hold off;

Figure contains an axes. The axes contains 3 objects of type line. These objects represent a = 0, b = 1, a = -2, b = 2, a = -2, b = 1.

Как ширина интервала (a,b) увеличивается, уменьшается наклон каждого cdf.

Связанные распределения

Бета-распределение - бета-распределение является двухпараметрическим непрерывным распределением, которое имеет параметры a (первый параметр формы) и b (второй параметр формы). Стандартное равномерное распределение равно бета-распределению с единичными параметрами.
Треугольное Распределение - треугольное распределение является трехпараметрическим непрерывным распределением, которое имеет параметры a (нижний предел), b (пик) и c (верхний предел). Сумма двух случайных переменных со стандартным равномерным распределением имеет треугольное распределение с a = 0, b = 1 и c = 0.

Ссылки

[1] Abramowitz, Milton, and Irene A. Stegun, eds. Справочник по математическим функциям: с формулами, графиками и математическими таблицами. 9. Dover print.; [Нахдр. дер Аусг. фон 1972]. Книги Дувра по математике. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Dover Publ, 2013.

[2] Девройе, Люк Неоднородный Генерация случайных переменных. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Спрингер Нью-Йорк, 1986. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8643-8

[3] Эванс, Мерран, Николас Гастингс и Брайан Пикок. Статистические распределения. 2-й ред. Нью-Йорк: Дж. Уайли, 1993.

См. также

Документация