Загрузить данные

Загрузите моделируемый набор данных, который включает в себя суммарную сумму возврата основных средств p = 100 основных средств и 2000 ежедневных наблюдений.

clear;
load('asset_return_100_simulated.mat');
[nObservation, p] = size(stockReturns)

nObservation = 2000

p = 100

splitPoint = ceil(nObservation*0.6);
training = 1:splitPoint;
test = splitPoint+1:nObservation;
trainingNum = numel(training);

Визуализируйте кривую собственного капитала для каждого запаса. Для этого примера постройте график первых пяти акций.

plot(ret2tick(stockReturns{training,1:5}, 'method', 'simple')*100); hold off;
xlabel('Timestep');
ylabel('Value');
title('Equity Curve');
legend(stockReturns.Properties.VariableNames(1:5), 'Location',"bestoutside",'Interpreter', 'none');

Оптимизация распределения основных средств непосредственно по факторам с помощью структуры определения на основе проблем

Для коэффициентов можно использовать статистические коэффициенты, извлеченные из ряда возврата основного средства. В этом примере для извлечения статистических факторов используется анализ основных компонентов (PCA) [1]. Затем эту факторную модель можно использовать для решения задачи оптимизации портфеля.

В факторной модели p-доходность актива может быть выражена как линейная комбинация k-доходности коэффициента, ${\mathit{}}_{\mathit{ra}}{=}_{\mathit{}}мка\mathit{}\text{+}{\mathit{}}_{\mathit{F}}{}_{\mathit{rf}}$+ δ a, где k < < p. В системе средних отклонений портфельный риск

$\mathrm{Вар}{\mathit{}}_{\mathit{}}(RP)\mathrm{}{{\mathit{=Var}}_{\mathit{}}}^{\mathit{}}{\mathit{}}_{\mathit{}}\mathrm{(raTwa)}{{}_{\mathit{=Var}}(\mathit{(}{\mathit{\mu a}}_{\mathit{}}{\mathrm{+F}}_{\mathit{}}}^{\mathit{rf}}{\mathit{}}_{\mathit{}}+\epsilon a){\mathit{}}_{\mathit{}}^{\mathit{}}Twa\mathit{)}{}_{\mathit{}}{\mathit{}}^{\mathit{}}=waT\mathit{}{\mathit{}}_{\mathit{}}{\mathit{}}_{\mathit{}}^{\mathit{}}{\text{(FΣfFT+D)}}_{\mathit{}}{\mathit{}}_{\mathit{}}{\mathit{}}_{\mathit{}}^{\mathit{}}\mathit{}{\mathit{}}_{\mathit{}}$wa=wfT Σf wf+waT D wa${\mathit{}}_{\mathit{,}}{\mathit{}}^{\mathit{}}{\mathit{}}_{\mathit{с}}$ wf=FTwa,

где:

${\mathit{}}_{\mathit{Rp}}$ - возврат портфеля (скаляр).

${\mathit{}}_{\mathit{ra}}$ - возврат основных средств.

${}_{\mathit{мка}}$- среднее значение доходности основных средств.

$\mathit{F}$ - факторная нагрузка с размерами p-by-k.

${\mathit{}}_{\mathit{rf}}$ - коэффициент возврата.

${}_{\mathit{\alpha a}}$ - это идиосинкратический возврат, связанный с каждым активом.

${\mathit{}}_{\mathit{wa}}$ - вес основных средств.

${\mathit{}}_{\mathit{wf}}$ - вес фактора.

${}_{\mathit{Startf}}$ - ковариация возвращаемых множителей.

$\mathit{D}$ - дисперсия идиосинкратических возвращений.

Параметры ${\mathit{}}_{\mathit{ra}}$, ${\mathit{}}_{\mathit{wa}}$, ${}_{\mathit{pcia}}$, ${}_{\mathit{\alpha a}}$являются p-by-1 векторы столбцов, ${\mathit{}}_{\mathit{}}$rfand ${\mathit{}}_{\mathit{wf}}$ являются k-by-1 векторы-столбцы, ${}_{\mathit{Starta}}$ является p-by-p матрицей, ${}_{\mathit{Startk}}$ - k-by-k матрицей, а $\mathit{D}$ - p-by-p диагональной матрицей.

Поэтому задача оптимизации средней дисперсии формулируется как

$\mathrm{макс.}{}_{\mathit{}}^{\mathit{maxaT}}{\mathit{}}_{\mathit{wa}}\text{,}\mathit{s.t}.\mathit{}$FTwa ${\mathit{}}^{\mathit{}}{\mathit{}}_{\mathit{=}}{\mathit{}}_{\mathit{wf}}$, ${\mathit{}}_{\mathit{}}^{\mathit{wfT,}}{}_{\mathit{wf}}{\mathit{}}_{\mathit{}}{\mathit{+}}_{\mathit{}}^{\mathit{}}\mathit{waT}{\mathit{D}}_{\mathit{}}{\mathit{}}_{\mathrm{}}$wa≤trisk,0≤w≤1$\mathrm{}\mathit{}\mathrm{}{\mathit{,}}^{\mathit{}}{\mathit{}}_{\mathit{}}\mathrm{eTwa}$ = 1.

В p-мерном пространстве, образованном p-доходами активов, PCA находит наиболее важные k-направления, которые фиксируют наиболее важные вариации в данных доходах p-активов. Обычно k меньше p. Поэтому, используя PCA, можно разложить p доходность актива на k факторов, что значительно уменьшает размерность задачи. K основных направлений интерпретируются как факторные нагрузки, а оценки из разложения интерпретируются как факторные возвраты. Дополнительные сведения см. в разделе pca (Toolbox™ статистики и машинного обучения). В этом примере используйте k = 10 как число основных компонентов. Кроме того, можно найти значение k, определив пороговое значение для общей дисперсии, представляемой как верхние k главных компонентов. Обычно 95% - приемлемый порог.

k = 10;
[factorLoading,factorRetn,latent,tsq,explained,mu] = pca(stockReturns{training,:}, 'NumComponents', k);
disp(size(factorLoading))

   100    10

disp(size(factorRetn))

        1200          10

На выходе p-by-k factorLoading, каждый столбец является основным компонентом. Вектор возврата актива на каждом шаге времени разлагается на эти k размерных пространств, где k < < p. factorRetn является измерением trainingNum by-k.

Оценка ковариационной матрицы коэффициента с возвращениями коэффициента.

covarFactor = cov(factorRetn);

Можно реконструировать p доходности актива для каждого наблюдения, используя каждую k доходность коэффициента, следуя за ${\mathit{}}_{\mathit{ra}}{=}_{\mathit{}}\mathit{}{\mathit{}}_{\mathit{}}{}_{\mathit{}}$

Выполните реконструкцию всего 1200 наблюдений для обучающего набора.

reconReturn = factorRetn*factorLoading' + mu;
unexplainedRetn = stockReturns{training,:} - reconReturn;

Есть необъяснимые возвраты (a) активов, ${}_{\mathit{}}$потому что оставшиеся (p-k) основные компоненты отбрасываются. Необъяснимые возвраты основных средств можно отнести к специфическим для основных средств рискам, представленным как D.

unexplainedCovar = diag(cov(unexplainedRetn));
D = diag(unexplainedCovar);

Для построения переменных, цели и ограничений для задачи можно использовать основанную на задачах структуру определений из Toolbox™ Оптимизация: $\max {}_{\mathit{}}^{\mathit{мкаT}}{\mathit{}}_{\mathit{wa}}\text{,}\mathit{}s.t\mathit{.}$${\mathit{}}^{\mathit{}}{\mathit{}}_{\mathit{}}{\mathit{FTwa=wf}}_{\mathit{,}}$${\mathit{}}_{\mathit{}}^{\mathit{}}{}_{\mathit{}}{\mathit{}}_{\mathit{}}{\mathit{}}_{\mathit{}}^{\mathit{}}\mathit{}{\mathit{}}_{\mathit{}}{\mathit{}}_{\mathrm{wfT\; \Sigma f\; wf+waT\; D\; wa\le trisk,}}$${\mathit{}}^{\mathit{}}{\mathit{}}_{\mathit{}}\mathrm{}\mathrm{}\mathit{}eTwa=1,0\le w\le 1\mathrm{.}$Структура определения на основе проблем позволяет определять переменные и символически выражать цели и ограничения. Можно добавить другие ограничения или использовать другую цель в зависимости от конкретной проблемы. Дополнительные сведения см. в разделе Первый выбор подхода на основе проблем или подхода на основе решателей.

targetRisk = 0.007;  % Standard deviation of portfolio return
tRisk = targetRisk*targetRisk;  % Variance of portfolio return
meanStockRetn = mean(stockReturns{training,:});

optimProb = optimproblem('Description','Portfolio with factor covariance matrix','ObjectiveSense','max');
wgtAsset = optimvar('asset_weight', p, 1, 'Type', 'continuous', 'LowerBound', 0, 'UpperBound', 1);
wgtFactor = optimvar('factor_weight', k, 1, 'Type', 'continuous');

optimProb.Objective = sum(meanStockRetn'.*wgtAsset);

optimProb.Constraints.asset_factor_weight = factorLoading'*wgtAsset - wgtFactor == 0;
optimProb.Constraints.risk = wgtFactor'*covarFactor*wgtFactor + wgtAsset'*D*wgtAsset <= tRisk;
optimProb.Constraints.budget = sum(wgtAsset) == 1;

x0.asset_weight = ones(p, 1)/p;
x0.factor_weight = zeros(k, 1);
opt = optimoptions("fmincon", "Algorithm","sqp", "Display", "off", ...
    'ConstraintTolerance', 1.0e-8, 'OptimalityTolerance', 1.0e-8, 'StepTolerance', 1.0e-8);
x = solve(optimProb,x0, "Options",opt);
assetWgt1 = x.asset_weight;

В этом примере максимизируется доходность портфеля для целевого риска. Это нелинейная проблема программирования с квадратичным ограничением и вы используете fmincon для решения этой проблемы.

Проверьте распределение основных средств, превышающее 5%, чтобы определить, какие основные средства имеют большие инвестиционные веса.

percentage = 0.05;
AssetName = stockReturns.Properties.VariableNames(assetWgt1>=percentage)';
Weight = assetWgt1(assetWgt1>=percentage);
T1 = table(AssetName, Weight)

T1=7×2 table
     AssetName      Weight 
    ___________    ________

    {'Asset9' }    0.080054
    {'Asset32'}     0.22355
    {'Asset47'}     0.11369
    {'Asset57'}    0.088321
    {'Asset61'}    0.068845
    {'Asset75'}    0.063648
    {'Asset94'}     0.22163

Оптимизация распределения основных средств с помощью Portfolio Класс с информацией о факторах

Если у вас уже есть матрица ковариации коэффициента нагрузки и коэффициента от какого-либо другого анализа или стороннего поставщика, вы можете использовать эту информацию для вычисления ковариационной матрицы актива, а затем непосредственно запустить оптимизацию средней дисперсии с помощью Portfolio класс. Напомним, что портфельный риск - $\mathrm{это\; Var}{\mathit{(}}_{\mathit{}}Rp)\mathrm{=}{{\mathrm{Var}}_{\mathit{}\text{(}}(\mathit{}\text{мка}{\mathit{}}_{\mathit{+}}{F}_{\mathit{}}}^{\mathit{rf}}{\mathit{}}_{\mathit{+}}{\mathit{\alpha а}}_{\mathit{)}}^{\mathit{}}\mathit{}{\mathrm{Twa}}_{\mathit{)}}{\mathit{}}^{\mathit{=}}\mathit{}{\text{waT}\mathit{}}_{\mathit{(}}$F, ffFT + D) wa, так что можно получить ковариацию