Создайте модель контура управления SISO с неопределенностью усиления ± 6 дБ и фазовой неопределенностью ± 30 °. Использовать функцию передачи с разомкнутым контуром

$\mathit{L}\frac{\mathrm{=}3}{{\mathit{}}^{\mathrm{.}}\mathrm{}{\mathit{5s3}}^{\mathrm{}}+\mathrm{}\mathit{}}$2s2 + 3s.

L = tf(2.5,[1 2 3 0]);

Чтобы смоделировать неопределенность, сначала используйте getDGM преобразование коэффициента усиления и изменения фазы в дисковый диапазон коэффициента усиления. Поскольку выигрыш может увеличиться или уменьшиться на ту же величину, можно использовать 'balanced' для моделирования диска с неопределенностью, симметричной относительно номинального значения.

GM = db2mag(6);
PM = 30;
DGM = getDGM(GM,PM,'balanced')

DGM = 1×2

    0.5012    1.9953

DGM определяет диск неопределенности с вариациями усиления в диапазоне, заданном DGMи фазовые изменения, определяемые геометрией диска. Использовать DGM для создания umargin блок.

F = umargin('F',DGM)

F = 
  Uncertain gain/phase "F" with relative gain change in [0.501,2] and phase change of ±36.8 degrees.

F представляет наименьший диск неопределенности, который может фиксировать как целевое усиление, так и изменение фазы. Фактическое изменение фазы, смоделированное F немного больше целевого диапазона ± 30 °. Для визуализации полного диапазона коэффициентов усиления и фазовых изменений, представленных F, включая одновременное усиление и изменение фазы, использование plot.

plot(F)

Правый график показывает диапазон значений в комплексной плоскости, что мультипликативный коэффициент F может взять. Размер диска определяет величину вариации. Закрашенная область на левом графике показывает одновременные изменения усиления и фазы, включенные в F. Дополнительные сведения об этой модели неопределенности см. в разделе Анализ стабильности с использованием полей диска.

Чтобы включить коэффициент усиления и фазовую неопределенность в модель системы с замкнутым контуром, вставьте его в контур обратной связи в качестве мультипликативного коэффициента на отклик с разомкнутым контуром.

T = feedback(L*F,1)

T =

  Uncertain continuous-time state-space model with 1 outputs, 1 inputs, 3 states.
  The model uncertainty consists of the following blocks:
    F: Uncertain gain/phase, gain × [0.501,2], phase ± 36.8 deg, 1 occurrences

Type "T.NominalValue" to see the nominal value, "get(T)" to see all properties, and "T.Uncertainty" to interact with the uncertain elements.

Результатом является неопределенное состояние-пространство (uss) модель с одним блоком управления, F. Изучите влияние смоделированного усиления и фазовой неопределенности на ступенчатую реакцию системы с замкнутым контуром.

figure;
rng default  % for reproducibility
step(T)

С помощью этой модели можно выполнить дополнительный анализ, например, анализ устойчивости системы по моделируемому коэффициенту усиления и фазовому изменению с помощью robstab. Или можно использовать musyn разработать надежный контроллер для неопределенной системы L*F. Примеры см. в разделе

Создать umargin блокировать усиление моделей, которое может уменьшиться на 10%, но увеличиться на 60% при отсутствии изменения фазы, и изменение фазы ± 15 ° при отсутствии изменения усиления. Для этого используйтеgetDGM с 'tight' вариант. Эта опция используется для поиска самого маленького диска, на котором фиксируются заданные диапазоны усиления и фазы.

DGM = getDGM([0.9,1.6],[-15,15],'tight');
F = umargin('F',DGM)

F = 
  Uncertain gain/phase "F" with relative gain change in [0.86,1.6] and phase change of ±15 degrees.

В этом случае наименьший диск охватывает определенную вариацию фазы и вариацию усиления, которая немного больше, но все же отклоняется в сторону увеличения усиления. Визуализация соответствующего диска и диапазонов усиления и фазовых изменений, моделируемых F.

plot(F)

Левый график показывает, что моделируемое изменение коэффициента усиления несимметрично относительно номинального значения.

Создать другой umargin блок, на этот раз с использованием 'balanced' опция в getDGM.

DGMb = getDGM([0.9,1.6],[-15,15],'balanced');
Fb = umargin('Fb',DGMb);

Сравните диск неопределенности, смоделированный каждым блоком.

figure;
diskmarginplot([F.GainChange;Fb.GainChange],'disk')

Диск Fb моделирует больший симметричный диапазон усиления (gmin = 1/gmax) и большие фазовые вариации, чем указанные вами. Если вы уверены, что выигрыш варьируется больше в одном направлении, чем в другом в вашей системе, то эта сбалансированная модель может быть чрезмерно консервативной.

umargin блок представляет усиление SISO и фазовую неопределенность. Для моделирования усиления и фазовых изменений в контуре обратной связи MIMO создайте umargin блок для каждого местоположения в контуре, в котором требуется ввести коэффициент усиления и изменение фазы. Например, рассмотрим контур обратной связи с двумя входами и двумя выходами примера полей стабильности MIMO для вращающегося спутника.

Предположим, что необходимо изучить поведение системы с изменениями коэффициента усиления и фазы на входах и выходах установки. Эти варианты можно моделировать, создавая отдельные umargin блоки для каждого канала и построение их в модели с замкнутым контуром.

Создайте модели завода и контроллера из полей стабильности MIMO для Spinning Satellite. Установка представляет собой двухвходовую модель состояния-пространства с двумя выходами, а фильтр Kf прямой передачи представляет собой двухвходовой статический коэффициент усиления.

% Plant
a = 10;
A = [0 a;-a 0];
B = eye(2);
C = [1 a;-a 1];
D = 0;
P = ss(A,B,C,D);

% Prefilter
Kf = [1 -a;a 1]/(1+a^2);

Затем создайте umargin блоки для представления усиления и фазовой неопределенности в каждом канале. Предположим, что вы хотите смоделировать неопределенность усиления около 5% в любом направлении во всех четырех местоположениях. Создать umargin блок для моделирования этой неопределенности.

GM = 1.05;
u1 = umargin('u1',GM)

u1 = 
  Uncertain gain/phase "u1" with relative gain change in [0.952,1.05] and phase change of ±2.79 degrees.

umargin преобразует заданное изменение коэффициента усиления ± 5% в дисковую модель неопределенности, которая также допускает фазовые изменения около ± 3 °. Использоватьplot визуализировать диск и моделируемый диапазон усиления и изменения фазы на каждом входе и выходе.

plot(u1)

Чтобы получить наилучшие оценки влияния усиления и фазовой неопределенности на производительность системы, необходимо, чтобы усиление и фаза варьировались независимо в каждом из четырех местоположений. Поэтому создайте дополнительные umargin блоки для каждого входа и выхода установки с одинаковой характеристикой усиления.

u2 = umargin('u2',GM);
y1 = umargin('y1',GM);
y2 = umargin('y2',GM);

Построение модели с замкнутым контуром, вставка u1 и u2 на заводских вводах, и y1 и y2 на выходе из установки. Для этого используйте blkdiag объединиться u1 и u2 в систему с двумя входами и двумя выходами вида [u1,0;0,u2]. Создать подобную комбинацию y1 и y2. Затем соедините их с заводом и используйте feedback команда на закрытие двухканального контура обратной связи.

Fu = blkdiag(u1,u2);
Fy = blkdiag(y1,y2);
L = Fy*P*Fu;    
Tunc = feedback(L,eye(2))*Kf

Tunc =

  Uncertain continuous-time state-space model with 2 outputs, 2 inputs, 2 states.
  The model uncertainty consists of the following blocks:
    u1: Uncertain gain/phase, gain × [0.952,1.05], phase ± 2.79 deg, 1 occurrences
    u2: Uncertain gain/phase, gain × [0.952,1.05], phase ± 2.79 deg, 1 occurrences
    y1: Uncertain gain/phase, gain × [0.952,1.05], phase ± 2.79 deg, 1 occurrences
    y2: Uncertain gain/phase, gain × [0.952,1.05], phase ± 2.79 deg, 1 occurrences

Type "Tunc.NominalValue" to see the nominal value, "get(Tunc)" to see all properties, and "Tunc.Uncertainty" to interact with the uncertain elements.

Проверьте влияние этих изменений на реакцию системы.

rng(1)  % for reproducibility
figure
step(Tunc,Tunc.NominalValue,10)

Эти небольшие неопределенности оказывают значительное влияние на производительность системы, иногда даже изменяя признак реакции. Анализ надежности с помощью robstab показывает, что только несколько большая вариация приводит к нестабильной системе с замкнутым контуром.

stabmarg = robstab(Tunc)

stabmarg = struct with fields:
           LowerBound: 1.0210
           UpperBound: 1.0231
    CriticalFrequency: 1.0000e-04

Требование, что система с замкнутым контуром устойчива к определенной величине усиления и фазовой неопределенности, эквивалентно утверждению, что система имеет такую величину усиления и фазовый запас. Таким образом, можно использовать umargin блок для проверки усиления и фазовых полей системы, которая также требует устойчивости к другим типам неопределенности. Для этого запишите требуемые поля на диске в umargin блок и использовать robstab для проверки надежной стабильности против всех неопределенностей, смоделированных в системе.

Рассмотрим следующую замкнутую систему с неопределенностью параметров.

k = ureal('k',10,'Percent',40);
G = tf(18,[1 k k]);
C = pid(1,2);
CL = feedback(G*C,1);

robstab показывает, что система устойчива к смоделированной неопределенности. На самом деле, система остается стабильной на два чуть более чем в два раза больше смоделированной неопределенности.

stabmarg = robstab(CL)

stabmarg = struct with fields:
           LowerBound: 2.0458
           UpperBound: 2.0458
    CriticalFrequency: 4.4517

Предположим, что также требуется, чтобы система допускала увеличение или уменьшение коэффициента усиления до 50% и изменение фазы до ± 20 ° на входе в установку. Для проверки наличия этих полей в системе создайте umargin блок, моделирующий эти вариации и вставляющий их в модель с замкнутым контуром.

DGM = getDGM(1.5,20,'tight');
F = umargin('F');
Gf = G*F;
CLf = feedback(Gf*C,1);

stabmarg = robstab(CLf)

stabmarg = struct with fields:
           LowerBound: 1.0940
           UpperBound: 1.0962
    CriticalFrequency: 3.9049

Этот результат показывает, что в дополнение к надежной стабильности по отношению к изменению параметров, контур обратной связи также поддерживает желаемый коэффициент усиления и фазовые поля для всех смоделированных значений k (фактически примерно на 9% больше, чем смоделированный диапазон k).

Вы также можете использовать эквивалентность между полями диска и надежная стабильность для усиления и фазовых изменений, чтобы разработать надежный контроллер, который удовлетворяет определенным коэффициентам усиления и фазовых полей. Примеры см. в разделе Проектирование надежного контроллера с заданным коэффициентом усиления и полями фазы и надежного контроллера для вращающегося спутника.

Надежный контроллер, возвращенный musyn оптимизирует надежную производительность неопределенных систем обратной связи. Когда неопределенная установка содержит umargin блоки, это требование надежной стабильности эквивалентно обеспечению усиления на основе дисков и фазовых полей, равных umargin неопределенность. В этом примере следует разработать надежный контроллер для неопределенной установки, обеспечивающий стабильность по замкнутому контуру от усиления и фазовых колебаний на входах и выходах установки.

Используйте завод из примера "Формирование петель с mixsyn"на mixsyn справочная страница, представляющая некоторую неопределенность в расположении системных полюсов и нуля.

a = ureal('a',1,'PlusMinus',[-0.1,0.1]);
s = zpk('s');
G = (s-a)/(s+a)^2;

Целью является обеспечение стабильности по замкнутому контуру от усиления и изменения фазы на входах и выходах установки в полном диапазоне изменения параметров, смоделированных в установке. G. Для этого используйте целевой коэффициент усиления и поля фазы для создания umargin неопределенные блоки и прикрепить их к установке. В этом примере предположим, что требуется устойчивость к изменениям коэффициента усиления 1,5 в любом направлении или фазовым изменениям ± 20 °.

DGM = getDGM(1.5,20,'tight');
Fin = umargin('Fin',DGM);
Fout = umargin('Fout',DGM);
Gmarg = Fout*G*Fin

Gmarg =

  Uncertain continuous-time state-space model with 1 outputs, 1 inputs, 7 states.
  The model uncertainty consists of the following blocks:
    Fin: Uncertain gain/phase, gain × [0.667,1.5], phase ± 22.6 deg, 1 occurrences
    Fout: Uncertain gain/phase, gain × [0.667,1.5], phase ± 22.6 deg, 1 occurrences
    a: Uncertain real, nominal = 1, variability = [-0.1,0.1], 3 occurrences

Type "Gmarg.NominalValue" to see the nominal value, "get(Gmarg)" to see all properties, and "Gmarg.Uncertainty" to interact with the uncertain elements.

Для настройки с помощью musyn, вы дополняете завод функциями взвешивания, которые обеспечивают выполнение требований к производительности, таких как отслеживание ссылок, отклонение возмущений и надежность. Для этого примера используйте функции взвешивания, описанные в примере на mixsyn справочная страница.

W1 = makeweight(10,[1 0.1],0.01);
W2 = makeweight(0.1,[32 0.32],1);
W3 = makeweight(0.01,[1 0.1],10);

Gaug = augw(Gmarg,W1,W2,W3);

Использовать musyn для проектирования контроллера.

[K,gam] = musyn(Gaug,1,1);

D-K ITERATION SUMMARY:
-----------------------------------------------------------------
                       Robust performance               Fit order
-----------------------------------------------------------------
  Iter         K Step       Peak MU       D Fit             D
    1           7.753        1.527        1.539            24
    2           1.131        1.084        1.091            40
    3               1       0.9964        1.004            38
    4           0.997       0.9945        1.003            44
    5          0.9995       0.9939        1.001            38

Best achieved robust performance: 0.994

musyn достигается надежная производительность около 1, что говорит о том, что коэффициент усиления по замкнутому контуру остается ниже 1 для всего диапазона неопределенности, определенного в установке. Чтобы подтвердить, что результирующий контроллер достигает целевого коэффициента усиления и запаса по фазе, используйте wcdiskmargin проверить наихудший коэффициент усиления и фазовые поля системы на предмет одновременных изменений на входах и выходах установки. Использовать завод G который содержит неопределенность параметра, но не неопределенность усиления и фазы.

MMIO = wcdiskmargin(G,K)

MMIO = struct with fields:
           GainMargin: [0.6027 1.6593]
          PhaseMargin: [-27.8480 27.8480]
           DiskMargin: 0.4958
           LowerBound: 0.4958
           UpperBound: 0.4968
    CriticalFrequency: 0.9146
    WorstPerturbation: [1x1 struct]

Наихудший запас усиления на основе диска, равный [0,6 1,66], немного больше целевого предела [0,66 1,5], а наихудший запас фазы ± 28 ° также лучше требуемого предела ± 20 °. Таким образом, контроллерK обеспечивает требуемый запас для всего диапазона неопределенностей параметров установки G.

Пример использования umargin блоки с musyn для обеспечения усиления и фазовых полей в контуре управления MIMO см. раздел Надежный контроллер для вращающегося спутника.