Автокорреляция и частичная автокорреляция

Что такое автокорреляция и частичная автокорреляция?

Autocorrelation - линейная зависимость переменной с собой в две точки времени. Для стационарных процессов автокорреляция между любыми двумя наблюдениями зависит только от временной задержки h между ними. Задайте Cov (_yt, _yt–h) = _γh. Автокорреляция h Лаг- определяется

$ρ_{h} = C o r r (y_{t}, y_{t - h}) = \frac{γ_{h}}{γ_{0}} .$

Знаменатель γ 0 является задержкой 0 ковариацией, то есть безусловным отклонением процесса.

Корреляция между двумя переменными может быть результатом взаимной линейной зависимости от других переменных (путаница). Partial autocorrelation является автокорреляцией между _yt и _yt–h после удаления любой линейной зависимости от y 1, _y 2,..., _{y t–h} + 1. Частичная лаг- h автокорреляция обозначена $ϕ_{h, h} .$

Теоретические ACF и PACF

Автокорреляционная функция (ACF) для временных рядов _yt, t = 1,..., N, является последовательностью $ρ_{h},$ h = 1, 2..., N – 1. Частичная автокорреляционная функция (PACF) является последовательностью $ϕ_{h, h},$ h = 1, 2..., N – 1.

Теоретические ACF и PACF для условных средних моделей AR, MA и ARMA известны и отличаются для каждой модели. Эти различия между моделями важно иметь в виду, когда вы выбираете модели.

Условная средняя модель	Поведение ACF	Поведение PACF
AR (p)	Хвосты отрываются постепенно	Обрезает после p лагов
MA (q)	Обрезает после q лагов	Хвосты отрываются постепенно
ARMA (p, q)	Хвосты отрываются постепенно	Хвосты отрываются постепенно

Выборка ACF и PACF

Автокорреляция выборки и частичная автокорреляция выборки являются статистическими данными, которые оценивают теоретическую автокорреляцию и частичную автокорреляцию. Используя эти качественные инструменты выбора модели, можно сравнить выборку ACF и PACF ваших данных с известными теоретическими автокорреляционными функциями [1].

Для наблюдаемого ряда y 1, _y 2,..._, yT, обозначите среднее значение выборки $\bar{y} .$ Образец автокорреляции h лаг- дается

${\hat{ρ}}_{h} = \frac{\sum_{t = h + 1}^{T} (y_{t} - \bar{y}) (y_{t - h} - \bar{y})}{\sum_{t = 1}^{T} {(y_{t} - \bar{y})}^{2}} .$

Стандартная ошибка для проверки значимости одной лаг- h автокорреляции , ${\hat{ρ}}_{h}$ , приблизительно

$S E_{ρ} = \sqrt{(1 + 2 \sum_{i = 1}^{h - 1} {\hat{ρ}}_{i}^{2}) / N} .$

Когда вы используете autocorr чтобы построить график выборочной автокорреляционной функции (также известной как коррелограмма), приблизительно 95% доверительных интервалов рисуются в $\pm 2 S E ρ$ по умолчанию. Необязательные входные параметры позволяют вам изменить вычисление доверительных границ.

Выборка лаг- h частичная автокорреляция является оцененным коэффициентом лаг- h в модели AR, содержащей h лагов, ${\hat{ϕ}}_{h, h} .$ Стандартная ошибка для проверки значимости одной лаг- h частичной автокорреляции приблизительно $1 / \sqrt{N} .$ Когда вы используете parcorr чтобы построить график выборки функции частичной автокорреляции, приблизительно 95% доверия интервалов рисуются в $\pm 2 / \sqrt{N}$ по умолчанию. Необязательные входные параметры позволяют вам изменить вычисление доверительных границ.

Вычислите выборку ACF и PACF в MATLAB

Открыть Live Script

В этом примере показано, как вычислить и построить график выборки ACF и PACF временных рядов с помощью функций Econometrics Toolbox™ autocorr и parcorr, и приложение Econometric Modeler.

Сгенерируйте синтетические временные ряды

Симулируйте процесс MA (2) $y_{t}$ путем фильтрации ряда 1000 стандартных Гауссовых отклонений $ε_{t}$ через разностное уравнение

$y_{t} = ε_{t} - ε_{t - 1} + ε_{t - 2} .$

rng('default') % For reproducibility
e = randn(1000,1);
y = filter([1 -1 1],1,e);

Построение и вычисление ACF

Постройте график выборки ACF $y_{t}$ путем передачи моделируемых временных рядов в autocorr.

autocorr(y)

Figure contains an axes. The axes with title Sample Autocorrelation Function contains 4 objects of type stem, line.

Автокорреляция образца лагов, больше 2, незначительна.

Вычислите выборку ACF путем вызова autocorr снова. Возвращает первый выходной аргумент.

acf = autocorr(y)

acf(j) является образцом автокорреляции $y_{t}$ при задержке j – 1.

Построение и вычисление PACF

Постройте график выборки PACF $y_{t}$ путем передачи моделируемых временных рядов в parcorr.

parcorr(y)

Figure contains an axes. The axes with title Sample Partial Autocorrelation Function contains 4 objects of type stem, line.

С увеличением задержки выборки PACF постепенно уменьшается.

Вычислите выборку PACF путем вызова parcorr снова. Возвращает первый выходной аргумент.

pacf = parcorr(y)

pacf = 21×1

    1.0000
   -0.6697
   -0.1541
    0.2929
    0.3421
    0.0314
   -0.1483
   -0.2290
   -0.0394
    0.1419
      ⋮

pacf(j) является выборкой частичной автокорреляции $y_{t}$ при задержке j – 1.

The выборки ACF и PACF предполагают, что $y_{t}$ является процессом МА (2).

Использование Econometric Modeler

Откройте приложение Econometric Modeler путем ввода econometricModeler в командной строке.

econometricModeler

Загрузите моделируемые временные ряды y.

На вкладке Econometric Modeler, в разделе Import, выберите Import > Import From Workspace.
В диалоговом окне «Импорт данных», в окне «Импорт?» столбец установите флажок для y переменная.
Нажмите кнопку Импорт.

Переменная y1 появляется в Диспетчере данных, а график временных рядов появляется в окне рисунка временных рядов (y1).

Отобразите выборку ACF, нажав ACF на вкладке Графики.

Постройте график выборки PACF, нажав PACF на вкладке Графики. Поместите график PACF под график ACF путем перетаскивания вкладки PACF (y1) в нижнюю половину документа.

Ссылки

[1] Box, George E. P., Gwilym M. Jenkins, and Gregory C. Reinsel. Анализ временных рядов: прогнозирование и управление. 3-й эд. Englewood Cliffs, Нью-Джерси: Prentice Hall, 1994.

Документация