Загрузите данные.

Загрузите данные валютного курса, включенные в тулбокс.

load Data_MarkPound
y = Data;
T = length(y);

figure
plot(y)
h = gca;
h.XTick = [1 659 1318 1975];
h.XTickLabel = {'Jan 1984','Jan 1986','Jan 1988',...
     'Jan 1992'};
ylabel 'Exchange Rate';
title 'Deutschmark/British Pound Foreign Exchange Rate';

Валютный курс выглядит нестационарным (он, по-видимому, не колеблется вокруг фиксированного уровня).

Вычислим возвраты.

Преобразуйте серию в возвраты. Это приводит к потере первого наблюдения.

r = price2ret(y);

figure
plot(2:T,r)
h2 = gca;
h2.XTick = [1 659 1318 1975];
h2.XTickLabel = {'Jan 1984','Jan 1986','Jan 1988',...
     'Jan 1992'};
ylabel 'Returns';
title 'Deutschmark/British Pound Daily Returns';

Серия возвратов колеблется вокруг общего уровня, но показывает кластеризацию волатильности. Большие изменения в возвратах, как правило, кластеризуются вместе, а небольшие изменения, как правило, кластеризуются вместе. То есть серия проявляет условную гетероскедастичность.

Возвраты имеют относительно высокую частоту. Поэтому ежедневные изменения могут быть небольшими. Для численной устойчивости рекомендуется масштабировать такие данные. В этом случае масштабируйте возвраты до процентных возвратов.

r = 100*r;

Проверьте автокорреляцию.

Проверьте серию возвратов на автокорреляцию. Постройте график выборки ACF и PACF и проведите Q-тест Ljung-Box.

figure
subplot(2,1,1)
autocorr(r)
subplot(2,1,2)
parcorr(r)

[h,p] = lbqtest(r,'Lags',[5 10 15])

h = 1x3 logical array

   0   0   0

p = 1×3

    0.3982    0.7278    0.2109

Выборка ACF и PACF практически не показ значительной автокорреляции. Q-критерий Ljung-Box нулевой гипотезы о том, что все автокорреляции до тестируемых лагов равны нулю, не отклоняется для тестов с лагами 5, 10 и 15. Это предполагает, что условная модель среднего значения не нужна для этой серии возвращений.

Проверяйте условную гетероскедастичность.

Проверьте ряды возврата на условную гетероскедастичность. Постройте график выборки ACF и PACF квадратного ряда возвратов (после центрирования). Проведите тест ARCH Engle с помощью альтернативы модели ARCH с двумя задержками.

figure
subplot(2,1,1)
autocorr((r-mean(r)).^2)
subplot(2,1,2)
parcorr((r-mean(r)).^2)

[h,p] = archtest(r-mean(r),'Lags',2)

h = logical
   1

p = 0

Выборки ACF и PACF квадратов возвратов показывают значительную автокорреляцию. Это предполагает, что модель GARCH с отстающими отклонениями и отстающими квадратными инновациями может быть подходящей для моделирования этой серии. ARCH-тест Engle отклоняет нулевую гипотезу (h = 1) без эффектов ARCH в пользу альтернативной модели ARCH с двумя отстающими квадратными инновациями. Модель ARCH с двумя отстающими инновациями локально эквивалентна модели GARCH (1,1 ).

Задайте модель GARCH (1,1

Основываясь на автокорреляционных и условных проверках спецификаций гетероскедастичности, задайте модель GARCH (1,1) со средним смещением :

с $${\epsilon }_t={\sigma }_t{z}_t$$ и

Предположим, что Гауссово инновационное распределение.

Mdl = garch('Offset',NaN,'GARCHLags',1,'ARCHLags',1)

Mdl = 
  garch with properties:

     Description: "GARCH(1,1) Conditional Variance Model with Offset (Gaussian Distribution)"
    Distribution: Name = "Gaussian"
               P: 1
               Q: 1
        Constant: NaN
           GARCH: {NaN} at lag [1]
            ARCH: {NaN} at lag [1]
          Offset: NaN

Созданная модель, Mdl, имеет NaN значения для всех неизвестных параметров в указанной модели GARCH (1,1 ).

Можно передать модель GARCH Mdl и r в estimate для оценки параметров.