Логнормальное распределение

Обзор

Логнормальное распределение, иногда называемое распределением Гальтона, является распределением вероятностей, логарифм которого имеет нормальное распределение. Lognormal distribution применяется, когда количество интереса должно быть положительным, потому что журнал (x) существует только, когда x положительно.

Statistics and Machine Learning Toolbox™ предлагает несколько способов работать с lognormal распределением.

Создайте объект распределения вероятностей LognormalDistribution подгонкой распределения вероятностей к выборочным данным (fitdist) или путем настройки значений параметров (makedist). Затем используйте функции объекта, чтобы вычислить распределение, сгенерировать случайные числа и так далее.
Работайте с lognormal распределением в интерактивном режиме при помощи Distribution Fitter app.Можно экспортировать объект из приложения и использовать функции объекта.
Используйте специфичные для распределения функции (logncdf, lognpdf, logninv, lognlike, lognstat, lognfit, lognrnd) с заданными параметрами распределения. Функции, специфичные для распределения, могут принимать параметры нескольких логнормальных распределений.
Используйте родовые функции распределения (cdf, icdf, pdf, random) с заданным именем распределения ('Lognormal') и параметры.

Параметры

Lognormal distribution использует эти параметры.

Параметр	Описание	Поддержка
`mu` (<reservedrangesplaceholder0>)	Среднее логарифмических значений	$- \infty < μ < \infty$
`sigma` (<reservedrangesplaceholder0>)	Стандартное отклонение логарифмических значений	$σ \geq 0$

Если X следует lognormal распределению с параметрами µ и σ, то log (X) следует нормальному распределению со средним µ и стандартным σ отклонения.

Оценка параметра

Чтобы подогнать логнормальное распределение к данным и найти оценки параметров, используйте lognfit, fitdist, или mle.

Для данных без цензуры, lognfit и fitdist найти объективные оценки параметров распределения, и mle находит максимальные оценки правдоподобия.
Для цензурированных данных, lognfit, fitdist, и mle найти максимальные оценки правдоподобия.

В отличие от этого, lognfit и mle, которые возвращают оценки параметров, fitdist возвращает установленный объект распределения вероятностей LognormalDistribution. Свойства объекта mu и sigma сохраните оценки параметров.

Описательная статистика

Среднее m и v дисперсии lognormal random переменной являются функциями lognormal distribution parameters µ и σ:

$\begin{array}{l} m = \exp (μ + σ^{2} / 2) \\ v = \exp (2 μ + σ^{2}) (\exp (σ^{2}) - 1) \end{array}$

Кроме того, можно вычислить lognormal distribution parameters µ и σ из среднего m и v дисперсии:

$\begin{array}{l} μ = \log (m^{2} / \sqrt{v + m^{2}}) \\ σ = \sqrt{\log (v / m^{2} + 1)} \end{array}$

Функция плотности вероятностей

Функция плотности вероятностей (pdf) логнормального распределения

$y = f (x | μ, σ) = \frac{1}{x σ \sqrt{2 π}} \exp {\frac{- {(\log x - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}}, для x > 0.$

Для получения примера смотрите Вычисление Lognormal Распределения PDF.

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения (cdf) логнормального распределения

$p = F (x | μ, σ) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} \int_{0}^{x} \frac{1}{t} \exp {\frac{- {(\log t - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}} d t, для x > 0.$

Для получения примера смотрите Compute Lognormal Распределения cdf.

Примеры

Вычисление Lognormal Distribution PDF

Открыть Live Script

Предположим, что доход семейства из четырех человек в Соединенных Штатах соответствует логнормальному распределению с mu = log(20,000) и sigma = 1. Вычислите и постройте график плотности дохода.

Создайте объект lognormal distribution путем определения значений параметров.

pd = makedist('Lognormal','mu',log(20000),'sigma',1)

pd = 
  LognormalDistribution

  Lognormal distribution
       mu = 9.90349
    sigma =       1

Вычислите значения PDF.

x = (10:1000:125010)';
y = pdf(pd,x);

Постройте график PDF.

plot(x,y)
h = gca;
h.XTick = [0 30000 60000 90000 120000];
h.XTickLabel = {'0','$30,000','$60,000',...
                    '$90,000','$120,000'};

Figure contains an axes. The axes contains an object of type line.

Вычисление Lognormal Distribution cdf

Открыть Live Script

Вычислите значения cdf, рассчитанные по значениям в x для lognormal распределения со средним mu и стандартное отклонение sigma.

x = 0:0.2:10;
mu = 0;
sigma = 1;
p = logncdf(x,mu,sigma);

Постройте график cdf.

plot(x,p)
grid on
xlabel('x')
ylabel('p')

Figure contains an axes. The axes contains an object of type line.

Отношения между нормальным и Lognormal распределениями

Открыть Live Script

Если X следует за логарифмически нормальным распределением с параметрами µ и σ, то зарегистрируйтесь (X), следует за нормальным распределением со средним µ и стандартным отклонением σ. Используйте объекты распределения, чтобы просмотреть связь между нормальным и lognormal распределениями.

Создайте объект lognormal distribution путем определения значений параметров.

pd = makedist('Lognormal','mu',5,'sigma',2)

pd = 
  LognormalDistribution

  Lognormal distribution
       mu = 5
    sigma = 2

Вычислите среднее значение логнормального распределения.

mean(pd)

ans = 1.0966e+03

Среднее значение логнормального распределения не равно mu параметр. Среднее значение логарифмических значений равно mu. Подтвердите эту связь путем генерации случайных чисел.

Сгенерируйте случайные числа из логнормального распределения и вычислите их журнал значения.

rng('default');  % For reproducibility
x = random(pd,10000,1);
logx = log(x);

Вычислите среднее значение логарифмических значений.

m = mean(logx)

m = 5.0033

Среднее значение журнала x близко к mu параметр x, потому что x имеет логнормальное распределение.

Создайте гистограмму logx с нормальной распределительной подгонкой.

histfit(logx)

Figure contains an axes. The axes contains 2 objects of type bar, line.

График показывает, что значения журнала x обычно распределяются.

histfit использует fitdist для соответствия распределения данным. Использование fitdist для получения параметров, используемых в подборе кривой.

pd_normal = fitdist(logx,'Normal')

pd_normal = 
  NormalDistribution

  Normal distribution
       mu = 5.00332   [4.96445, 5.04219]
    sigma = 1.98296   [1.95585, 2.01083]

Предполагаемые нормальные параметры распределения близки к лагнормальным параметрам 5 и 2.

Сравнение Lognormal и Burr Distribution PDFS

Открыть Live Script

Сравните lognormal PDF с Burr PDF, используя данные о доходах, полученные из lognormal распределения.

Сгенерируйте данные о доходах.

rng('default') % For reproducibility
y = random('Lognormal',log(25000),0.65,[500,1]);

Подбор распределения Burr.

pd = fitdist(y,'burr')

pd = 
  BurrDistribution

  Burr distribution
    alpha = 26007.2   [21165.5, 31956.4]
        c = 2.63743   [2.3053, 3.0174]
        k = 1.09658   [0.775479, 1.55064]

Постройте графики как Burr, так и lognormal PDFS данных о доходах на одном и том же рисунке.

p_burr = pdf(pd,sortrows(y));
p_lognormal = pdf('Lognormal',sortrows(y),log(25000),0.65);
plot(sortrows(y),p_burr,'-',sortrows(y),p_lognormal,'-.')
title('Burr and Lognormal pdfs Fit to Income Data')
legend('Burr Distribution','Lognormal Distribution')

Figure contains an axes. The axes with title Burr and Lognormal pdfs Fit to Income Data contains 2 objects of type line. These objects represent Burr Distribution, Lognormal Distribution.

Связанные распределения

Нормальное Распределение - логнормальное распределение тесно связано с нормальным распределением. Если X распределена логнормально с параметрами μ и σ, то логарифмика (x) распределяется нормально со средними μ и стандартными σ отклонения. См. Взаимосвязь между нормальным и логнормальным распределениями.
Burr Type XII Distribution - дистрибутив Burr является гибким распределительным семейством, которое может выражать широкую область значений форм распределения. Он имеет в качестве ограничительного случая много обычно используемых распределений, таких как гамма, lognormal, loglogistic, bell-образных и J-образных бета-распределений (но не U-образных). См. «Сравнение Lognormal и Burr Distribution PDFS».

Ссылки

[1] Abramowitz, Milton, and Irene A. Stegun, eds. Справочник по математическим функциям: с формулами, графиками и математическими таблицами. 9. Dover print.; [Нахдр. дер Аусг. фон 1972]. Книги Дувра по математике. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Dover Publ, 2013.

[2] Эванс, М., Н. Гастингс и Б. Пикок. Статистические распределения. 2-е изд., Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons, Inc., 1993.

[3] Lawless, J. F. Статистические модели и методы для пожизненных данных. Hoboken, NJ: Wiley-Interscience, 1982.

[4] Marsaglia, G., and W. W. Tsang. Быстрый, легко реализованный метод выборки из уменьшающихся или симметричных функций юнимодальной плотности. SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing. Том 5, № 2, 1984, стр. 349-359.

[5] Микер, У. К. и Л. А. Эскобар. Статистические методы для данных о надежности. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 1998.

[6] Mood, A. M., F. A. Graybill, and D. C. Boes. Введение в теорию статистики. 3-е изд., Нью-Йорк: McGraw-Hill, 1974. стр 540–541.

См. также

Документация