Параметрические модели

Создание моделей броуновского движения (BM)

Модель Brownian Motion (BM) (bm) выводит непосредственно из линейной модели (sdeld) дрейфа:

$d X_{t} = μ (t) d t + V (t) d W_{t}$

Пример: модели BM

Создайте одномерный объект (bm) Броуновского движения представлять модель с помощью bm:

$d X_{t} = 0.3 d W_{t} .$

obj = bm(0, 0.3) % (A = Mu, Sigma)

obj = 
   Class BM: Brownian Motion
   ----------------------------------------
     Dimensions: State = 1, Brownian = 1
   ----------------------------------------
      StartTime: 0
     StartState: 0
    Correlation: 1
          Drift: drift rate function F(t,X(t)) 
      Diffusion: diffusion rate function G(t,X(t)) 
     Simulation: simulation method/function simByEuler
             Mu: 0
          Sigma: 0.3

Объекты bm отображают параметр A как более знакомый Mu.

Объект bm также предоставляет перегруженный Эйлеров метод симуляции, который улучшает производительность во время выполнения в определенных общих ситуациях. Этот специальный метод вызывается автоматически, только если всем следующим условиям отвечают:

Ожидаемый дрейф или тренд, уровень Mu является вектор-столбцом.
Уровень энергозависимости, Sigma, является матрицей.
Никакие корректировки конца периода и/или процессы не сделаны.
Если задано, случайный шумовой процесс Z является 3D массивом.
Если Z не задан, принятая Гауссова структура корреляции является двойной матрицей.

Создание постоянной эластичности отклонения (CEV) модели

Модель Constant Elasticity of Variance (CEV) (cev) также выводит непосредственно из линейной модели (sdeld) дрейфа:

$d X_{t} = μ (t) X_{t} d t + D (t, X_{t}^{α (t)}) V (t) d W_{t}$

Объект cev ограничивает A к NVARS-by-1 вектор нулей. D является диагональной матрицей, элементы которой являются соответствующим элементом вектора состояния X, повышенный до экспоненты α (t).

Пример: одномерные модели CEV

Создайте одномерный объект cev представлять модель с помощью cev:

$d X_{t} = 0.25 X_{t} + 0.3 X_{t}^{\frac{}{12}} d W_{t} .$

obj = cev(0.25, 0.5, 0.3) % (B = Return, Alpha, Sigma)

obj = 
   Class CEV: Constant Elasticity of Variance
   ------------------------------------------
     Dimensions: State = 1, Brownian = 1
   ------------------------------------------
      StartTime: 0
     StartState: 1
    Correlation: 1
          Drift: drift rate function F(t,X(t)) 
      Diffusion: diffusion rate function G(t,X(t)) 
     Simulation: simulation method/function simByEuler
         Return: 0.25
          Alpha: 0.5
          Sigma: 0.3

cev и объекты gbm отображают параметр B как более знакомый Return.

Создание моделей геометрического броуновского движения (GBM)

Модель Geometric Brownian Motion (GBM) (gbm) выводит непосредственно из модели CEV (cev):

$d X_{t} = μ (t) X_{t} d t + D (t, X_{t}) V (t) d W_{t}$

По сравнению с объектом cev объект gbm ограничивает все элементы вектора экспоненты alpha к одному таким образом, что D является теперь диагональной матрицей с вектором состояния X по основной диагонали.

Объект gbm также предоставляет два метода симуляции, которые могут использоваться отделимыми моделями:

Перегруженный Эйлеров метод симуляции, который улучшает производительность во время выполнения в определенных общих ситуациях. Этот специальный метод вызывается автоматически, только если все следующие условия верны:
- Ожидаемая норма прибыли (Return) является диагональной матрицей.
- Уровень энергозависимости (Sigma) является матрицей.
- Никакие корректировки/процессы конца периода не сделаны.
- Если задано, случайный шумовой процесс Z является 3D массивом.
- Если Z не задан, принятая Гауссова структура корреляции является двойной матрицей.
Аппроксимированное аналитическое решение (simBySolution), полученный путем применения Эйлерового подхода к преобразованному (использование формулы ITO) логарифмический процесс. В целом это не точное решение этой модели GBM, когда распределения вероятностей моделируемых и истинных векторов состояния идентичны только для кусочных постоянных параметров. Если параметры модели являются кусочной константой за каждый период наблюдения, вектор состояния_{, Xt} логарифмически нормально распределяется, и моделируемый процесс точен в течение времен наблюдения, в которые выбирается _Xt.

Пример: одномерные модели GBM

Создайте одномерный объект gbm представлять модель с помощью gbm:

$d X_{t} = 0.25 X_{t} d t + 0.3 X_{t} d W_{t}$

obj = gbm(0.25, 0.3)  % (B = Return, Sigma)

obj = 
   Class GBM: Generalized Geometric Brownian Motion
   ------------------------------------------------
     Dimensions: State = 1, Brownian = 1
   ------------------------------------------------
      StartTime: 0
     StartState: 1
    Correlation: 1
          Drift: drift rate function F(t,X(t)) 
      Diffusion: diffusion rate function G(t,X(t)) 
     Simulation: simulation method/function simByEuler
         Return: 0.25
          Sigma: 0.3

Создание стохастических дифференциальных уравнений от возвращающегося среднее значение дрейфа (SDEMRD) модели

Объект sdemrd выводит непосредственно от объекта sdeddo. Это обеспечивает интерфейс, в котором функция уровня дрейфа выражается в возвращающейся среднее значение форме дрейфа:

$d X_{t} = S (t) [L (t) - X_{t}] d t + D (t, X_{t}^{α (t)}) V (t) d W_{t}$

Объекты sdemrd обеспечивают параметрическую альтернативу линейной форме дрейфа путем перепараметризации общего линейного дрейфа, таким образом что:

$A (t) = S (t) L (t), B (t) = - S (t)$

Пример: модели SDEMRD

Создайте объект sdemrd с помощью sdemrd с экспонентой квадратного корня, чтобы представлять модель:

$d X_{t} = 0.2 (0.1 - X_{t}) d t + 0.05 X_{t}^{\frac{}{12}} d W_{t} .$

obj = sdemrd(0.2, 0.1, 0.5, 0.05)

obj = 
   Class SDEMRD: SDE with Mean-Reverting Drift
   -------------------------------------------
     Dimensions: State = 1, Brownian = 1
   -------------------------------------------
      StartTime: 0
     StartState: 1
    Correlation: 1
          Drift: drift rate function F(t,X(t)) 
      Diffusion: diffusion rate function G(t,X(t)) 
     Simulation: simulation method/function simByEuler
          Alpha: 0.5
          Sigma: 0.05
          Level: 0.1
          Speed: 0.2

    % (Speed, Level, Alpha, Sigma)

Объекты sdemrd отображают знакомый Speed и параметры Level вместо A и B.

Создание Кокса-Инджерсолла-Росса (CIR) модели диффузии квадратного корня

Кокс-Инджерсолл-Росс (CIR) короткий объект уровня, cir, выводит непосредственно от SDE с возвращающимся среднее значение дрейфом (sdemrd) класс:

$d X_{t} = S (t) [L (t) - X_{t}] d t + D (t, X_{t}^{\frac{}{12}}) V (t) d W_{t}$

где D является диагональной матрицей, элементы которой являются квадратным корнем из соответствующего элемента вектора состояния.

Пример: модели CIR

Создайте объект cir с помощью cir, чтобы представлять ту же модель как в Примере: Модели SDEMRD:

obj = cir(0.2, 0.1, 0.05)  % (Speed, Level, Sigma)

obj = 
   Class CIR: Cox-Ingersoll-Ross
   ----------------------------------------
     Dimensions: State = 1, Brownian = 1
   ----------------------------------------
      StartTime: 0
     StartState: 1
    Correlation: 1
          Drift: drift rate function F(t,X(t)) 
      Diffusion: diffusion rate function G(t,X(t)) 
     Simulation: simulation method/function simByEuler
          Sigma: 0.05
          Level: 0.1
          Speed: 0.2

Несмотря на то, что последние два объекта имеют различные классы, они представляют ту же математическую модель. Они отличаются по этому, вы создаете объект cir путем определения только трех входных параметров. Это различие укреплено тем, что параметр Alpha не отображается – это задано, чтобы быть 1/2.

Создание Hull-White/Vasicek (HWV) Гауссовы Модели Диффузии

Hull-White/Vasicek (HWV) короткий объект уровня, hwv, выводит непосредственно от SDE с возвращающимся среднее значение дрейфом (sdemrd) класс:

$d X_{t} = S (t) [L (t) - X_{t}] d t + V (t) d W_{t}$

Пример: модели HWV

Используя те же параметры как в предыдущем примере, создайте объект hwv с помощью hwv, чтобы представлять модель:

$d X_{t} = 0.2 (0.1 - X_{t}) d t + 0.05 d W_{t} .$

obj = hwv(0.2, 0.1, 0.05)  % (Speed, Level, Sigma)

obj = 
   Class HWV: Hull-White/Vasicek
   ----------------------------------------
     Dimensions: State = 1, Brownian = 1
   ----------------------------------------
      StartTime: 0
     StartState: 1
    Correlation: 1
          Drift: drift rate function F(t,X(t)) 
      Diffusion: diffusion rate function G(t,X(t)) 
     Simulation: simulation method/function simByEuler
          Sigma: 0.05
          Level: 0.1
          Speed: 0.2

cir и hwv совместно используют тот же интерфейс и методы отображения. Единственное различие - то, что cir и объекты модели hwv ограничивают экспоненты Alpha к 1/2 и 0, соответственно. Кроме того, объект hwv также обеспечивает дополнительный метод, который моделирует аппроксимированные аналитические решения (simBySolution) отделимых моделей. Этот метод моделирует вектор состояния _Xt с помощью приближения решения закрытой формы диагональных моделей HWV дрейфа. Каждый элемент вектора состояния _Xt выражается как сумма NBROWNS коррелируемые Гауссовы случайные ничьи, добавленные к детерминированному переменному временем дрейфу.

При выполнении выражений все параметры модели приняты кусочная константа за каждый период симуляции. В целом это не точное решение этой модели hwv, потому что распределения вероятностей моделируемых и истинных векторов состояния идентичны только для кусочных постоянных параметров. Если _S(t,Xt), _L(t,Xt) и _V(t,Xt) являются кусочной константой за каждый период наблюдения, вектор состояния_{, Xt} нормально распределен, и моделируемый процесс точен в течение времен наблюдения, в которые выбирается _Xt.

Белый как оболочка по сравнению с моделями Вашичека

Много ссылок дифференцируются между моделями Вашичека и моделями Hull-White. Где такие различия сделаны, параметры Вашичека ограничиваются быть константами, в то время как Белые как оболочка параметры отличаются детерминировано со временем. Думайте о моделях Вашичека в этом контексте как модели Hull-White постоянного коэффициента и эквивалентно, модели Hull-White как изменяющиеся во времени модели Вашичека. Однако с архитектурной точки зрения, различие между статическими и динамическими параметрами тривиально. Поскольку обе модели совместно используют ту же общую параметрическую спецификацию, как ранее описано, один объект hwv охватывает модели.

Создание Хестона стохастические модели энергозависимости

Объект Heston (heston) выводит непосредственно от SDE от Дрейфа и Диффузии (sdeddo) класс. Каждая модель Хестона является двумерной составной моделью, состоя из двух двойных одномерных моделей:

d X_{1 t} = B (t) X_{1 t} d t + \sqrt{X_{2 t}} X_{1 t} d W_{1 t}

(1)

d X_{2 t} = S (t) [L (t) - X_{2 t}] d t + V (t) \sqrt{X_{2 t}} d W_{2 t}

(2)

Уравнение 1 обычно сопоставляется с ценовым процессом. Уравнение 2 представляет эволюцию ценового отклонения процесса. Модели типа heston обычно используются к ценовым опциям акции.

Пример: Хестон моделирует

Создайте объект heston с помощью heston, чтобы представлять модель:

$\begin{array}{l} d X_{1 t} = 0.1 X_{1 t} d t + \sqrt{X_{2 t}} X_{1 t} d W_{1 t} \\ d X_{2 t} = 0.2 [0.1 - X_{2 t}] d t + 0.05 \sqrt{X_{2 t}} d W_{2 t} \end{array}$

obj = heston (0.1, 0.2, 0.1, 0.05)

obj = 
   Class HESTON: Heston Bivariate Stochastic Volatility
   ----------------------------------------------------
     Dimensions: State = 2, Brownian = 2
   ----------------------------------------------------
      StartTime: 0
     StartState: 1 (2x1 double array) 
    Correlation: 2x2 diagonal double array 
          Drift: drift rate function F(t,X(t)) 
      Diffusion: diffusion rate function G(t,X(t)) 
     Simulation: simulation method/function simByEuler
         Return: 0.1
          Speed: 0.2
          Level: 0.1
     Volatility: 0.05

Документация