Модели векторной авторегрессии (VAR)

Векторная модель авторегрессии (VAR) представляет собой многомерную модель временных рядов, содержащую систему из n уравнений n различных стационарных переменных отклика в качестве линейных функций запаздывающих ответов и других терминов. Модели VAR также характеризуются степенью p; каждое уравнение в модели VAR (p) содержит p лагов всех переменных в системе.

Модели VAR относятся к классу многомерных линейных моделей временных рядов, называемых векторными моделями авторегрессионного скользящего среднего (VARMA). Хотя Econometrics Toolbox™ предоставляет функциональные возможности для проведения комплексного анализа модели VAR (p) (от оценки модели до прогнозирования и моделирования), инструментарий предоставляет ограниченную поддержку для других моделей в классе VARMA.

В целом, многомерные линейные модели временных рядов хорошо подходят для:

Моделирование движений нескольких стационарных временных рядов одновременно.
Измерение отложенных эффектов среди переменных ответа в системе.
Измерение влияния экзогенных рядов на переменные в системе. Например, определите, влияет ли наличие недавно введенного тарифа на несколько эконометрических рядов.
Создание одновременных прогнозов переменных ответа.

Типы стационарных многомерных моделей временных рядов

Эта таблица содержит формы многомерных линейных моделей временных рядов и описывает их поддерживаемые функциональные возможности в Econometrics Toolbox.

Модель	Сокращение	Уравнение	Поддерживаемые функциональные возможности
Векторная авторегрессия	VAR (p)	$_{}_{}^{}_{}_{}_{yt=c+∑j=1pΦjyt−j+εt}$	Представление модели с помощью `varm` объект: Создание шаблона для оценки или полностью заданной модели с помощью `varm`. Оценка неизвестных параметров с помощью `estimate`. Работа с полностью заданной моделью путем применения функций объекта. Получение матриц коэффициентов модели VAR из матриц коэффициентов ее эквивалента VARMA (p, q) с помощью `arma2ar`. Учитывая матрицы коэффициентов, выполните анализ динамического множителя с помощью `armairf` и `armafevd`.
Векторная авторегрессия с линейным временным трендом	VAR (p)	$_{}_{}^{}_{}_{}_{yt=c+δt+∑j=1pΦjyt−j+εt}$	Представление модели с помощью `varm` объект. `estimate` и все другие объектные функции поддерживают эту модель.
Векторная авторегрессия с экзогенными рядами	VARX (p)	$_{}_{}_{}^{}_{}_{}_{yt=c+δt+βxt+∑j=1pΦjyt−j+εt}$	Представление модели с помощью `varm` объект. `estimate` и все другие объектные функции поддерживают эту модель.
Векторное скользящее среднее	VMA (q)	$_{}_{}^{}_{}_{}_{yt=c+∑k=1qΘkεt−k+εt}$	Получение матриц коэффициентов модели VMA из матриц коэффициентов ее эквивалента VARMA (p, q) с помощью `arma2ma`. Учитывая матрицы коэффициентов, выполните анализ динамического множителя с помощью `armairf` и `armafevd`.
Векторное авторегрессионное скользящее среднее	ВАРМА (p, q)	$_{}_{}^{}_{}_{}_{}^{}_{}_{}_{yt=c+∑j=1pΦjyt−j+∑k=1qΘkεt−k+εt}$	Получение матриц коэффициентов модели VAR или VMA из матриц коэффициентов ее эквивалента VARMA (p, q) с помощью `arma2ar` или `arma2ma`соответственно. Учитывая матрицы коэффициентов, выполните анализ динамического множителя с помощью `armairf` и `armafevd`.
Структурное векторное авторегрессионное скользящее среднее	SVARMA (p, q)	$_{}_{}_{}^{}_{}_{}_{}^{}_{}_{}_{}_{Φ0yt=c+∑j=1pΦjyt−j+∑k=1qΘkεt−k+Θ0εt}$	Та же поддержка, что и для моделей VARMA

В уравнениях появляются следующие переменные:

yt - вектор n-на-1 различных переменных временного ряда отклика в момент времени t.
c - вектор n-на-1 постоянных смещений в каждом уравнении.
_Фj - матрица n-на-n коэффициентов AR, где j = 1,..., p и _Фр не является матрицей, содержащей только нули.
_xt - вектор m-на-1 значений, соответствующих m экзогенным переменным или предикторам. В дополнение к запаздывающим ответам, экзогенные переменные являются немодированными входами в систему. Каждая экзогенная переменная по умолчанию появляется во всех уравнениях ответа.
β - матрица коэффициентов регрессии n-by-m. Строка j содержит коэффициенты в уравнении переменной ответа j, а столбец k содержит коэффициенты экзогенной переменной k среди всех уравнений.
δ - вектор n-на-1 линейных значений тренда времени.
_{δ t} - вектор n-на-1 случайных гауссовых новаций, каждый со средним значением 0 и совокупно n-на-n ковариационной матрицей Λ. Для t ≠ s _{δ t} и _αs независимы.
_{Λ k} является матрицей n-на-n коэффициентов МА, где k = 1,..., q и ((_q) не является матрицей, содержащей только нули.
_Φ0 и _Θ0 - структурные коэффициенты AR и MA соответственно.

Как правило, временные ряды yt и _xt можно наблюдать, поскольку имеются данные, представляющие ряд. Не всегда известны значения c, δ, β и авторегрессивных матриц. Обычно требуется подогнать эти параметры к данным. Посмотрите estimate для способов оценки неизвестных параметров или для удержания некоторых из них фиксированными значениями (установка ограничений равенства) во время оценки. Эти нововведения _не наблюдаются в данных, но они могут наблюдаться в моделировании.

Представление оператора задержки

В предыдущей таблице модели представлены в нотации «разность-уравнение». Нотация оператора запаздывания является эквивалентным и более лаконичным представлением многомерных линейных уравнений временных рядов.

Оператор задержки L уменьшает временной индекс на одну единицу: Lyt = yt-1. Оператор ^Lj уменьшает временной индекс на j единиц: ^Ljyt = yt-j.

В форме оператора запаздывания уравнение для модели SVARMAX (p, q):

$(_{}_{}^{}_{}^{Φ0−∑j=1pΦjLj})_{} yt = c_{} +_{} βxt_{+ (}^{}_{}^{}_{}$ Θ0+∑k=1qΘkLk) αt.

Уравнение выражается более лаконично в такой форме:

$(L)_{} yt =_{c} + {βxt}_{} + ($ L),

где

$Δ (L)_{}_{}^{}_{}^{}$ =Θ0−∑j=1pΘjLj

$Δ (L)_{}_{}^{}_{}^{}$ =Θ0+∑k=1qΘkLk.

Стабильные и обратимые модели

Многомерный многочлен AR стабилен, если

$дет (_{} In_{−}_{Φ1z}^{−} Φ2z2_{-} .^{.} . − Фрзп ) ≠0 для$ |z|≤1.

При всех нововведениях, равных нулю, это условие подразумевает, что процесс VAR сходится к c по мере приближения t к бесконечности (подробнее см. [1], гл. 2).

Многомерный многочлен МА может быть инвертирован, если

$\det (_{} In_{+}_{Θ1z}^{+} Θ2z2_{+} .^{.} . + Startqzq ) ≠0 для$ |z|≤1.

Это условие подразумевает, что представление VAR процесса VMA в чистом виде стабильно (подробнее см. [1], гл. 11).

Модель VARMA стабильна, если ее полином AR стабилен. Аналогично, модель VARMA является обратимой, если ее многочлен МА является обратимым.

Модели с экзогенными входами (например, модели VARMAX) не имеют четко определенного понятия стабильности или обратимости. Экзогенный вклад может дестабилизировать модель.

Модели с компонентом регрессии

Включите обратную связь от экзогенных предикторов или изучите их линейные ассоциации с серией ответов, включив компонент регрессии в многомерную линейную модель временных рядов. В порядке возрастания сложности примеры приложений, использующих такие модели:

Моделирование эффектов вмешательства, которое подразумевает, что экзогенный ряд является индикаторной переменной.
Моделирование одновременных линейных ассоциаций между подмножеством экзогенных рядов для каждого ответа. Приложения включают анализ CAPM и изучение влияния цен на товары на их спрос. Эти приложения являются примерами, казалось бы, несвязанной регрессии (SUR). Дополнительные сведения см. в разделе Внедрение, казалось бы, несвязанной регрессии и оценка модели ценообразования основных средств с использованием SUR.
Моделирование линейных ассоциаций между современными и запаздывающими экзогенными рядами и откликом в рамках распределенной модели запаздывания. Прикладные программы включают определение того, каким образом изменение темпов роста денежной массы влияет на реальный валовой внутренний продукт (ВВП) и валовой национальный доход (ВНД).
Любая комбинация SUR и модели распределенного запаздывания, которая включает в себя запаздывающие эффекты ответов, также известные как модели одновременных уравнений.

Общее уравнение для модели VARX (p):

$_{}_{}_{}^{}_{}_{}_{yt=c+δt+βxt+∑j=1pΦjyt−j+εt}$

где

_xt - вектор m-на-1 наблюдений из m экзогенных переменных в момент времени t. Вектор _xt может содержать запаздывающие экзогенные ряды.
β - вектор коэффициентов регрессии n-by-m. Строка j β содержит коэффициенты регрессии в уравнении последовательности ответов j для всех экзогенных переменных. Столбец k β содержит коэффициенты регрессии среди уравнений ряда ответов для экзогенной переменной k. На этом рисунке показана система с расширенным компонентом регрессии:

$[\begin{matrix} _{} \\ _{} \\ _{} \end{matrix} \begin{matrix} _{} y1,ty2,t⋮yn,t]=c+δt+[x1,tβ (1,1)_{} +⋯+xm,tβ (1 \\ ,_{m)} x1, tβ (_{2,1)} \\ _{+⋯+xm,tβ (} 2, m)_{⋮x1,tβ} (n, 1) \end{matrix}_{}^{}_{+⋯+xm,tβ}_{(n,} m_{)}]$ +∑j=1pΦjyt−j+εt.

Рабочий процесс модели VAR

В этом рабочем процессе описывается, как анализировать многомерные временные ряды с помощью функциональных возможностей модели Econometrics Toolbox VAR. Если предполагается, что серия ответов объединена, используйте вместо нее функциональные возможности модели VEC (см. vecm).

Загрузка, предварительная обработка и разбиение набора данных. Дополнительные сведения см. в разделе Форматы данных многомерных временных рядов.
Создать varm объект модели, характеризующий модель VAR. A varm объект модели - переменная MATLAB ®, содержащая свойства, описывающие модель, такие как степень p полинома AR, размерность отклика n и значения коэффициентов .varm должен уметь выводить n и p из ваших спецификаций; n и p не могут быть оценены. Можно обновить структуру запаздывания полинома AR после создания модели VAR, но нельзя изменить n.
varm позволяет создавать следующие типы моделей:
- Полностью заданная модель, в которой все параметры, включая коэффициенты и новую ковариационную матрицу, являются числовыми значениями. Этот тип модели создается в том случае, если экономическая теория определяет значения всех параметров в модели или требуется поэкспериментировать с настройками параметров. После создания полностью заданной модели можно передать модель всем функциям объекта, кроме estimate.
- Шаблон модели, в котором n и p являются известными значениями, но все коэффициенты и инновационная ковариационная матрица неизвестны, оцениваемые параметры. Свойства, соответствующие оцениваемым параметрам, состоят из: NaN значения. Передача шаблона модели и данных в estimate для получения оценочной (полностью определенной) модели VAR. Затем расчетную модель можно передать любой другой функции объекта.
- Частично заданный шаблон модели, в котором некоторые параметры известны, а другие неизвестны и могут быть оценены. При передаче частично указанной модели и данных estimateMATLAB рассматривает известные значения параметров как ограничения равенства во время оптимизации и оценивает неизвестные значения. Частично указанная модель хорошо подходит для выполнения следующих задач:
  - Удалите задержки с модели, установив коэффициент равным нулю.
  - Свяжите подмножество предикторов с переменной отклика, установив нулевые коэффициенты регрессии предикторов, которые не нужны в уравнении отклика.
Дополнительные сведения см. в разделе Создание модели VAR.
Для моделей с неизвестными, оцениваемыми параметрами поместите модель в данные. См. раздел Подгонка моделей к данным и estimate.
Найдите соответствующую степень полинома AR путем итерации шагов 2 и 3. См. раздел Выбор соответствующего порядка задержки.
Проанализируйте подогнанную модель. Этот шаг может включать в себя:
1. Определение того, вызывают ли серии ответов другие серии ответов в системе (см. gctest).
2. Изучение устойчивости подогнанной модели.
3. Расчет импульсных откликов, которые являются прогнозами, основанными на предполагаемом изменении входных данных во временном ряду.
4. Прогнозирование модели VAR путем получения либо прогнозов минимальной среднеквадратической ошибки, либо прогнозов Монте-Карло.
5. Сравнение прогнозов модели с данными задержки. Пример см. в разделе Пример модели VAR.

Приложению не обязательно включать все шаги в этот рабочий процесс, и можно выполнить итерацию некоторых шагов. Например, могут отсутствовать данные, но требуется смоделировать ответы из полностью заданной модели.

Ссылки

[1] Lütkepohl, H. Новое введение в анализ множественных временных рядов. Берлин: Спрингер, 2005.

Документация