Одномерные временные ряды y t являются integrated, если он может быть приведен к стационарности посредством дифференцирования. Количество различий, необходимых для достижения стационарности, называется order of integration. Временные ряды порядка <reservedrangesplaceholder3> обозначаются I (d). Стационарные ряды обозначены I (0).
n - размерные временные ряды <reservedrangesplaceholder18> <reservedrangesplaceholder17> cointegrated, если некоторая линейная комбинация <reservedrangesplaceholder15> 1 <reservedrangesplaceholder14> 1 <reservedrangesplaceholder13> +... + <reservedrangesplaceholder12> <reservedrangesplaceholder11> <reservedrangesplaceholder10> <reservedrangesplaceholder9> составляющих переменных постоянна. Комбинацию называют cointegrating relation и коэффициенты β = (β 1..., <reservedrangesplaceholder5> <reservedrangesplaceholder4>) ′ форма a <reservedrangesplaceholder3>. Коинтеграция обычно связана с системами I (1) переменных, поскольку любые I (0) переменные тривиально коинтегрированы с другими переменными с помощью вектора с коэффициентом 1 на I (0) компоненте и коэффициентом 0 на других компонентах. Идея коинтеграции может быть обобщена на системы переменных более высокого порядка, если линейная комбинация уменьшает их общий порядок интегрирования.
Коинтеграция отличается от традиционного экономического равновесия, при котором баланс сил производит стабильные долгосрочные уровни в переменных. Коинтегрированные переменные, как правило, нестабильны по своим уровням, но показывают средние «спреды» (обобщенные коинтегрирующим отношением), которые заставляют переменные перемещаться вокруг общих стохастических трендов. Коинтеграция также отличается от краткосрочных синхронностей положительной ковариации, которая только измеряет тенденцию к совместному движению на каждом временном шаге. Модификация модели VAR для включения коинтегрированных переменных балансирует краткосрочную динамику системы с долгосрочными тенденциями.
Тенденция коинтегрированных переменных возвращаться к общим стохастическим трендам выражается в терминах error-correction. Если <reservedrangesplaceholder14> <reservedrangesplaceholder13> n - размерные временные ряды и β - cointegrating вектор, то комбинация <reservedrangesplaceholder10> <reservedrangesplaceholder9> <reservedrangesplaceholder8> −1 измеряет «ошибку» в данных (отклонение от постоянного среднего) во время <reservedrangesplaceholder7> −1. Уровень, по которому ряд «правильный» от нарушения равновесия представлен вектором α adjustment speeds, которые включены в модель VAR во время t через мультипликативное <<reservedrangesplaceholder3> <reservedrangesplaceholder2> <reservedrangesplaceholder1> <reservedrangesplaceholder0> − 1.
В целом может быть несколько коинтегрирующих отношений между переменными в y t, в этом случае векторы α и β стать матрицами A и B, причем каждый столбец B представляет определенное отношение. Срок исправления ошибок становится <reservedrangesplaceholder8> <reservedrangesplaceholder7> <reservedrangesplaceholder6> −1 = <reservedrangesplaceholder5> <reservedrangesplaceholder4> <reservedrangesplaceholder3> −1. Добавление термина коррекции ошибок к модели VAR в различиях создает vector error-correction (VEC) model:
Если все переменные в y t I (1), условия, связанные с различиями, являются стационарными, оставляя только срок исправления ошибок, чтобы ввести долгосрочные стохастические тренды. Ранг impact matrix C определяет долгосрочную динамику. Если C имеет полный ранг, система y t является стационарной на уровнях. Если C имеет ранг 0, срок исправления ошибок исчезает, и система является стационарной по различиям. Эти две крайности соответствуют стандартным вариантам в одномерном моделировании. Однако в многомерном случае существуют промежуточные варианты, соответствующие reduced ranks между 0 и n. Если C ограничен уменьшенным рангом r, то C факторы в (групповой) n r матрицами A и B с C = <reservedrangesplaceholder3> , и есть r независимые cointegrating отношения среди переменных в <reservedrangesplaceholder1> <reservedrangesplaceholder0>.
Путем сбора различий модель VEC (q) может быть преобразована в модель VAR (p) на уровнях с p = q + 1:
Преобразование между представлениями VEC (q) и VAR (p) n-размерной системы осуществляется функциямиvec2var и var2vec использование формул:
Из-за эквивалентности двух представлений модель VEC с коэффициентом коррекции ошибок с пониженным рейтингом часто называют cointegrated VAR model. В частности, коинтегрированные модели VAR могут быть моделированы и предсказаны с помощью стандартных методов VAR.
Соинтегрированная модель VAR часто дополнена экзогенными терминами D x:
Переменные в x могут включать сезонные или интервенционные манекены или термины, представляющие детерминированные тренды на уровнях данных. Поскольку модель выражена в различиях ∆ y t, постоянные условия в x представляют детерминированные линейные тенденции на уровнях y t а линейные условия представляют детерминированные квадратичные тенденции. Напротив, постоянные и линейные условия в коинтегрированном ряду имеют обычную интерпретацию как точки пересечения и линейные тренды, хотя ограничены стационарной переменной, образованной коинтегрирующим отношением. Йохансен [107] рассматривает пять случаев для AB'<reservedrangesplaceholder3><reservedrangesplaceholder2>−1 + D x которые охватывают большинство наблюдаемого поведения в макроэкономических системах:
| Значение | Форма C y t − 1 + D X |
|---|---|
'H2' | AB´ <reservedrangesplaceholder1> <reservedrangesplaceholder0> −1. В коинтегрированных рядах нет точек пересечения или трендов, и нет детерминированных трендов в уровнях данных. |
'H1*' | <reservedrangesplaceholder4>(<reservedrangesplaceholder3>´<reservedrangesplaceholder2><reservedrangesplaceholder1>−1+<reservedrangesplaceholder0>0). В коинтегрированных рядах есть точки пересечения, и нет детерминированных трендов в уровнях данных. |
'H1' | <reservedrangesplaceholder5>(<reservedrangesplaceholder4>´<reservedrangesplaceholder3><reservedrangesplaceholder2>−1+<reservedrangesplaceholder1>0)+<reservedrangesplaceholder0>1. Существуют точки пересечения в коинтегрированных рядах, и существуют детерминированные линейные тренды на уровнях данных. Это значение по умолчанию. |
'H*' | <reservedrangesplaceholder7>(<reservedrangesplaceholder6>´<reservedrangesplaceholder5><reservedrangesplaceholder4>−1+<reservedrangesplaceholder3>0+<reservedrangesplaceholder2>0<reservedrangesplaceholder1>)+<reservedrangesplaceholder0>1. Существуют точки пересечения и линейные тренды в коинтегрированных рядах, и существуют детерминированные линейные тренды на уровнях данных. |
'H' | <reservedrangesplaceholder9>(<reservedrangesplaceholder8>´<reservedrangesplaceholder7><reservedrangesplaceholder6>−1+<reservedrangesplaceholder5>0+<reservedrangesplaceholder4>0<reservedrangesplaceholder3>)+<reservedrangesplaceholder2>1+<reservedrangesplaceholder1>1<reservedrangesplaceholder0>. Существуют точки пересечения и линейные тренды в коинтегрированных рядах, и существуют детерминированные квадратичные тренды на уровнях данных. |
В Econometrics Toolbox™ детерминированные условия вне коинтегрированного ряда, c 1 и d 1, идентифицируются путем проецирования постоянных и линейных коэффициентов регрессии, соответственно, на ортогональное дополнение A.
Интегрирование и коинтеграция создают возможности для преобразования переменных в стационарность. Интегрированные переменные, идентифицированные модулем корневых и стационарных тестах, могут отличаться от стационарных. Коинтегрированные переменные, идентифицированные с помощью коинтеграционных тестов, могут быть объединены, чтобы сформировать новые, стационарные переменные. На практике необходимо определить, приводят ли такие преобразования к более надежным моделям с переменными, которые сохраняют экономическую интерпретацию.
Обобщение из одномерного случая может ввести в заблуждение. В стандартном подходе Box-Jenkins [23] к одномерному моделированию ARMA стационарность является существенным предположением. Без него базовая теория распределения и методы оценки становятся недействительными. В соответствующем многомерном случае, когда модель VAR неограниченна и нет коинтеграции, выбор менее прост. Если цель анализа VAR состоит в том, чтобы определить отношения между исходными переменными, дифференцирование теряет информацию. В этом контексте Sims, Stock и Watson [179] советуют против дифференцирования, даже при наличии модуля корней. Однако, если цель состоит в том, чтобы симулировать базовый процесс генерации данных, интегрированные данные уровней могут вызвать ряд проблем. Тесты спецификаций модели теряют степень из-за увеличения количества предполагаемых параметров. Другие тесты, такие как тесты на причинность Грейнджера, больше не имеют стандартных распределений и становятся недействительными. Наконец, прогнозы на протяжении длительных периодов времени страдают от несогласованных оценок, из-за импульсных характеристик, которые не разрушаются. Enders [62] обсуждает стратегии моделирования.
При наличии коинтеграции простое дифференцирование является моделью миссидификации, поскольку долгосрочная информация появляется на уровнях. К счастью, коинтегрированная модель VAR обеспечивает промежуточные опции, между различиями и уровнями, смешивая их вместе с коинтегрирующими отношениями. Поскольку все условия коинтегрированной модели VAR являются стационарными, проблемы с единичными корнями устраняются.
Моделирование коинтеграции часто предлагается, независимо, экономической теорией. Примеры переменных, которые обычно описываются с коинтегрированной моделью VAR, включают:
Денежные акции, процентные ставки, доходы и цены (общие модели спроса на деньги)
Инвестиции, доходы и потребление (общие модели производительности)
Потребление и долгосрочное ожидание дохода (гипотеза о постоянном доходе)
Курсы валют и цены на внешнем и внутреннем рынках (Паритет покупательной способности)
Спотовые и форвардные валютные курсы и процентные ставки (Паритет покрытых процентных ставок)
Процентные ставки с различными сроками погашения (Гипотеза ожиданий срочной структуры)
Процентные ставки и инфляция (уравнение Фишера)
Поскольку эти теории описывают долгосрочное равновесие среди переменных, точная оценка коинтегрированных моделей может потребовать больших объемов низкочастотных (ежегодных, ежеквартальных, ежемесячных) макроэкономических данных. В результате эти модели должны учитывать возможность структурных изменений в базовом процессе генерации данных в течение периода дискретизации.
Финансовые данные, напротив, часто доступны на высоких частотах (часы, минуты, микросекунды). Средние спреды реверсирования коинтегрированных финансовых рядов могут быть смоделированы и изучены на предмет арбитражных возможностей. Для примера Закон одной цены предлагает коинтеграцию среди следующих групп переменных:
Цены активов с идентичными денежными потоками
Цены активов и дивиденды
Спотовые, будущие и форвардные цены
Ставьте и спрашивайте цены