Одномерный временной ряд yt интегрируется, если его можно довести до стационарности посредством дифференцирования. Количество различий, необходимых для достижения стационарности, называется порядком интегрирования. Временные ряды порядка d обозначаются I (d). Стационарные ряды обозначены I (0 ).
N-мерный временной ряд yt коинтегрируется, если некоторая линейная комбинация β1y1t +... + βnynt переменных компонента неподвижна. Комбинация называется коинтегрирующим отношением, а коэффициенты β = (β1,..., βn) ′ образовывать коинтегрирующий вектор. Коинтеграция обычно связана с системами I (1) переменных, так как любые I (0) переменные тривиально коинтегрированы с другими переменными с использованием вектора с коэффициентом 1 на I (0) компоненте и коэффициентом 0 на других компонентах. Идею коинтеграции можно обобщить на системы переменных более высокого порядка, если линейная комбинация уменьшает их общий порядок интегрирования.
Коинтеграция отличается от традиционного экономического равновесия, в котором баланс сил приводит к стабильным долгосрочным уровням переменных. Коинтегрированные переменные, как правило, нестабильны в своих уровнях, но демонстрируют средние «спреды» (обобщенные соотношением коинтегрирования), которые заставляют переменные перемещаться вокруг общих стохастических тенденций. Коинтеграция также отличается от кратковременных синхронизаций положительной ковариации, которая только измеряет тенденцию двигаться вместе на каждом временном шаге. Модификация модели VAR для включения коинтегрированных переменных уравновешивает краткосрочную динамику системы с долгосрочными тенденциями.
Тенденция коинтегрированных переменных возвращаться к общим стохастическим тенденциям выражается в терминах коррекции ошибок. Если yt - n-мерный временной ряд и β - коинтегрирующий вектор, то комбинация β′yt−1 измеряет «ошибку» в данных (отклонение от стационарного среднего) в момент времени t − 1. Скорость, с которой ряд «исправить» из дисбаланса, представляется вектором α скоростей регулировки, которые включены в модель VAR в момент времени t через мультипликативный член αβ′yt−1 коррекции ошибок.
В общем, может быть множество отношений коинтегрирования между переменными в yt, в этом случае векторы α и β становятся матрицами A и B, причем каждый столбец B представляет конкретное отношение. Член с исправлением ошибок становится AB′yt−1 = Cyt − 1. Добавление термина коррекции ошибок в модель VAR в различиях приводит к созданию модели векторной коррекции ошибок (VEC):
Если переменными в yt являются все I (1), термины, включающие различия, являются стационарными, оставляя только срок коррекции ошибок для введения долгосрочных стохастических тенденций. Ранг матрицы воздействия C определяет долгосрочную динамику. Если C имеет полный ранг, система yt неподвижна по уровням. Если С имеет ранг 0, член коррекции ошибок исчезает, и система неподвижна в различиях. Эти две крайности соответствуют стандартным вариантам в одномерном моделировании. Однако в многомерном случае существуют промежуточные варианты, соответствующие уменьшенным рангам между 0 и n. Если C ограничен уменьшенным рангом r, то C факторов в (неуникальных) n-по-r матриц A и B с C = AB ′, и есть r независимых коинтегрирующих отношений между переменными в yt.
Собирая различия, модель VEC (q) может быть преобразована в модель VAR (p) в уровнях с p = q + 1:
Апыт − р + αт.
Преобразование между представлениями VEC (q) и VAR (p) n-мерной системы осуществляется функциями vec2var и var2vec используя формулы:
q + 1) (с использованием vec2var)
var2vec)
Из-за эквивалентности двух представлений модель VEC с коэффициентом коррекции ошибок пониженного ранга часто называют коинтегрированной моделью VAR. В частности, коинтегрированные модели VAR можно моделировать и прогнозировать с использованием стандартных методов VAR.
Коинтегрированная модель VAR часто дополняется экзогенными терминами Dx:
Переменные в x могут включать сезонные или интервенционные манекены или термины, представляющие детерминированные тенденции в уровнях данных. Поскольку модель выражается в различиях ∆yt, постоянные члены в x представляют детерминированные линейные тренды в уровнях yt, а линейные члены представляют детерминированные квадратичные тренды. Напротив, постоянные и линейные члены в коинтегрированном ряду имеют обычную интерпретацию как перехваты и линейные тренды, хотя и ограничены стационарной переменной, образованной коинтегрирующим отношением. Йохансен [107] рассматривает пять случаев для AB 'yt − 1 + Dx, которые охватывают большинство наблюдаемых моделей поведения в макроэкономических системах:
| Стоимость | Форма Cyt − 1 + DX |
|---|---|
'H2' | AB 'yt − 1. В коинтегрированных сериях отсутствуют перехваты или тенденции, а также детерминированные тенденции в уровнях данных. |
'H1*' | A (B 'yt − 1 + c0). Имеются перехваты в коинтегрированных сериях и отсутствуют детерминированные тенденции в уровнях данных. |
'H1' | A (B 'yt − 1 + c0) + c1. Есть перехваты в коинтегрированных сериях и детерминированные линейные тренды в уровнях данных. Это значение по умолчанию. |
'H*' | A (B 'yt − 1 + c0 + d0t) + c1. Есть перехваты и линейные тренды в коинтегрированных сериях и детерминированные линейные тренды в уровнях данных. |
'H' | A (B 'yt − 1 + c0 + d0t) + c1 + d1t. Есть перехваты и линейные тренды в коинтегрированных сериях и детерминированные квадратичные тренды в уровнях данных. |
В Econometrics Toolbox™ детерминированные члены вне коинтегрированного ряда, c1 и d1, идентифицируются проецированием постоянных и линейных коэффициентов регрессии, соответственно, на ортогональное дополнение А.
Интеграция и коинтеграция предоставляют возможности для преобразования переменных в стационарность. Интегрированные переменные, идентифицированные по корневым и стационарным тестам, могут отличаться от стационарности. Коинтегрированные переменные, идентифицированные с помощью тестов коинтеграции, могут быть объединены для формирования новых стационарных переменных. На практике необходимо определить, приводят ли такие преобразования к созданию более надежных моделей с переменными, сохраняющими экономическую интерпретацию.
Обобщение из одномерного случая может ввести в заблуждение. В стандартном подходе Бокса-Дженкинса [23] к одномерному моделированию ARMA стационарность является существенным предположением. Без него основополагающая теория распределения и методы оценки становятся недействительными. В соответствующем многомерном случае, когда модель VAR не ограничена и нет коинтеграции, выбор менее прост. Если целью анализа VAR является определение взаимосвязей между исходными переменными, разностные теряют информацию. В этом контексте Симс, Сток и Уотсон [179] советуют не расставляться, даже при наличии единичных корней. Однако, если цель состоит в моделировании базового процесса генерации данных, интегрированные уровни данных могут вызвать ряд проблем. Испытания спецификации модели теряют мощность из-за увеличения числа оцениваемых параметров. Другие тесты, например, для причинно-следственной связи Грейнджера, больше не имеют стандартных распределений и становятся недействительными. Наконец, прогнозы на протяжении длительного периода времени страдают от противоречивых оценок из-за импульсных реакций, которые не распадаются. Эндерс [62] обсуждает стратегии моделирования.
При наличии коинтеграции простая дифференциация является модельной неточностью, поскольку на уровнях появляется долгосрочная информация. К счастью, коинтегрированная модель VAR предоставляет промежуточные варианты между различиями и уровнями, смешивая их с коинтегрирующими отношениями. Поскольку все термины коинтегрированной модели VAR являются стационарными, проблемы с корнями единиц устраняются.
Моделирование коинтеграции часто предлагается, независимо, экономической теорией. Примеры переменных, которые обычно описываются с коинтегрированной моделью VAR, включают в себя:
Денежный запас, процентные ставки, доходы и цены (общие модели спроса на деньги)
Инвестиции, доходы и потребление (общие модели производительности)
Потребление и долгосрочное ожидание дохода (гипотеза постоянного дохода)
Валютные курсы и цены на внешних и внутренних рынках (паритет покупательной способности)
Спотовые и форвардные валютные курсы и процентные ставки (паритет обеспеченных процентных ставок)
Процентные ставки с различными сроками погашения (гипотеза о срочной структуре)
Процентные ставки и инфляция (уравнение Фишера)
Поскольку эти теории описывают долгосрочное равновесие между переменными, точная оценка коинтегрированных моделей может потребовать больших объемов низкочастотных (годовых, квартальных, ежемесячных) макроэкономических данных. В результате эти модели должны учитывать возможность структурных изменений в базовом процессе генерации данных в течение периода выборки.
Финансовые данные, напротив, часто доступны на высоких частотах (часы, минуты, микросекунды). Средние обратные спреды коинтегрированных финансовых рядов могут быть смоделированы и изучены на предмет возможностей арбитража. Например, Закон об одной цене предлагает коинтеграцию между следующими группами переменных:
Цены активов с идентичными денежными потоками
Цены активов и дивидендов
Спотовые, будущие и форвардные цены
Цены предложения и запроса