Выбор вейвлета

Существует два типа вейвлет: непрерывный и мультиразрешение. Тип вейвлет, наиболее подходящего для вашей работы, зависит от того, что вы хотите сделать с данными. Эта тема посвящена 1-D данных, но можно применять те же принципы к 2D данные. Чтобы узнать, как выполнить и интерпретировать каждый тип анализа, смотрите Практическое введение в непрерывный анализ вейвлет и Практическое введение в мультирезолюционный анализ.

Частотно-временной анализ

Если ваша цель - выполнить детальный частотно-временной анализ, выберите непрерывное вейвлет (CWT). С точки зрения реализации шкалы дискретизированы более мелко в CWT, чем в дискретном вейвлет (DWT). Для получения дополнительной информации см. «Непрерывное и дискретное преобразование вейвлета».

Мгновенная частота

CWT превосходит кратковременное преобразование Фурье (STFT) для сигналов, в которых мгновенная частота быстро растет. На следующем рисунке мгновенные частоты гиперболического щебета строятся как штриховые линии в спектрограмме и CWT-полученной скалограмме. Для получения дополнительной информации смотрите Частотно-временной анализ и Непрерывное Преобразование Вейвлет.

Локализация переходных процессов

CWT хорош в локализации переходных процессов в нестационарных сигналах. На следующем рисунке наблюдайте, насколько хорошо коэффициенты вейвлета совпадают с резкими изменениями, которые происходят в сигнале. Для получения дополнительной информации смотрите Практическое введение в непрерывный анализ вейвлет.

Поддерживаемые вейвлеты

Чтобы получить непрерывное вейвлет ваших данных, используйте cwt и cwtfilterbank. Обе функции поддерживают аналитические вейвлеты, перечисленные в следующей таблице. По умолчанию, cwt и cwtfilterbank использовать обобщенное семейство вейвлет Морзе. Это семейство определяется двумя параметрами. Можно варьировать параметры, чтобы воссоздать многие обычно используемые вейвлеты. На графиках во временной области красной линии и синяя линии являются действительной и мнимой частями, соответственно, вейвлета. Контурные графики показывают вейвлет во времени и частоте. Для получения дополнительной информации смотрите Morse Wavelets и Обобщенные Morse и Аналитические Morlet Wavelets.

ВейвлетФункцииИмяВременной интервалЧастотно-временная область
Обобщенный Морзе ВейвлетМожет варьировать два параметра, чтобы изменить время и частотный разброс'morse' (по умолчанию)

Аналитический морлет (Габор) ВейвлетРавное отклонение во времени и частоте'amor'

Bump ВейвлетБолее широкое отклонение во времени, более узкое отклонение в частоте'bump'

Все вейвлеты в таблице аналитические. Аналитические вейвлеты являются вейвлетами с односторонними спектрами и являются комплексными, оцениваемыми во временном интервале. Эти вейвлеты являются хорошим выбором для получения частотно-временного анализа с использованием CWT. Поскольку вейвлет являются комплексными, CWT предоставляет информацию фазы. cwt и cwtfilterbank поддержка аналитических и анти-аналитических вейвлетов. Для получения дополнительной информации см. CWT-основанный частотно-временной анализ.

Мультирезолюционный анализ

В мультиразрешение анализе (MRA) вы аппроксимируете сигнал с постепенно более грубыми шкалами при записи различий между приближениями в последовательных шкалах. Вы создаете приближения и различия, принимая дискретное вейвлет (DWT) сигнала. DWT обеспечивает разреженное представление для многих естественных сигналов. Приближения формируются путем сравнения сигнала с масштабированными и переведенными копиями функции масштабирования. Различия между последовательными шкалами, также известными как детали, фиксируются с помощью масштабированных и переведенных копий вейвлета. На log2 масштаба, различие между последовательными шкалами всегда равно 1. В случае CWT различия между последовательными шкалами являются более мелкими.

При генерации MRA можно либо подмоделировать (децимировать) приближение в 2 раза каждый раз, когда вы увеличиваете шкалу или нет. Каждая опция предлагает преимущества и недостатки. Если вы подпример, вы заканчиваете с таким же количеством коэффициентов вейвлета, как и исходный сигнал. В децимированном DWT переводы являются целочисленными множителями шкалы. Для неразрешенного DWT переводы являются целочисленными сдвигами. Nondecimated DWT обеспечивает избыточное представление исходных данных, но не такое избыточное, как CWT. Ваше приложение влияет не только на выбор вейвлета, но и на то, какую версию DWT использовать.

Сохранение энергии

Если сохранение энергии на стадии анализа важно, необходимо использовать ортогональный вейвлет. Ортогональное преобразование сохраняет энергию. Рассмотрите использование ортогонального вейвлета с компактной поддержкой. Следует иметь в виду, что кроме вейвлета Haar, ортогональные вейвлеты с компактной поддержкой не симметричны. Связанные фильтры имеют нелинейную фазу. В этой таблице перечислены поддерживаемые ортогональные вейвлеты. См. wavemngr('read') для всех вейвлетов семейства имен.

Ортогональный вейвлетФункцииИмяСм. такжеПредставитель
CoifletФункция масштабирования и вейвлеты имеют одинаковое количество моментов исчезновения'coifN' для N = 1, 2,..., 5coifwavf, waveinfo

DaubechiesНелинейная фаза; энергия, сконцентрированная около начала их поддержки'dbN' для N = 1, 2,..., 45dbaux, waveinfo, Экстремальные коэффициенты фазы вейвлета

Фежер-КоровкинФильтры, сконструированные, чтобы минимизировать различие между действительным масштабирующим фильтром и идеальным lowpass sinc; особенно полезны при дискретном (децимированном и недекиматированном) преобразовании вейвлет. 'fkN' для N = 4, 6, 8, 14, 18, 22fejerkorovkin, waveinfo

ХаарСимметричный; частный случай даубехи; полезно для обнаружения ребер'haar' ('db1')waveinfo

SymletНаименее асимметричный; почти линейная фаза'symN' для N = 2, 3,..., 45symaux, waveinfo, Наименее асимметричный вейвлет и фаза

Использовать waveinfo чтобы узнать больше об отдельных семействах вейвлет. Для примера, waveinfo('db').

В зависимости от того, как вы обращаетесь к искажениям границ, DWT может не сэкономить энергию на стадии анализа. Для получения дополнительной информации см. раздел «Эффекты границы». Максимальное перекрытие дискретного вейвлет modwt и максимальное перекрытие дискретного преобразования вейвлета пакета modwpt сохраняйте энергию. Разложение вейвлета пакета dwpt не экономит энергию.

Обнаружение функций

Если вы хотите найти тесно расположенные функции, выберите вейвлеты с меньшей поддержкой, такие как haar, db2, или sym2. Поддержка вейвлета должна быть достаточно маленькой, чтобы разделить интересующие ее функции. Вейвлеты с большей поддержкой, как правило, испытывают трудности с обнаружением тесно расположенных функций. Использование вейвлетов с большой поддержкой может привести к коэффициентам, которые не различают отдельные функции. На следующем рисунке верхний график показывает сигнал с шипами. Нижний график показывает детали MRA первого уровня максимального перекрытия DWT с использованием haar (толстые синие линии) и db6 (толстые красные линии) вейвлеты.

Если ваши данные имеют плохо разнесенные переходные процессы, можно использовать вейвлеты с большей поддержкой.

Анализ Отклонения

Если ваша цель - провести дисперсионный анализ, максимальное перекрытие дискретного вейвлет (MODWT) подходит для задачи. MODWT является изменением стандартного DWT.

  • MODWT сохраняет энергию на стадии анализа.

  • MODWT разделяет отклонение по шкалам. Для примеров смотрите Wavelet Analysis of Financial Data и Wavelet Changepoint Detection.

  • MODWT требует ортогонального вейвлета, такого как вейвлет Daubechies или Symlet.

  • MODWT является инвариантным для сдвига преобразованием. Перемена входных данных сдвигает коэффициенты вейвлета на идентичную величину. Децимированный DWT не является инвариантом сдвига. Перемена входа изменяет коэффициенты и может перераспределить энергию по шкалам.

Посмотрите modwt, modwtmra, и modwtvar для получения дополнительной информации. См. также Сравнение MODWT и MODWTMRA.

Избыточность

Взятие децимированного DWT, wavedec, сигнала, использующего ортонормальное семейство вейвлеты, обеспечивает минимально избыточное представление сигнала. Нет перекрытия в вейвлетах внутри и поперек шкал. Количество коэффициентов равняется количеству выборок сигнала. Минимально избыточные представления являются хорошим выбором для сжатия, когда вы хотите удалить функции, которые не воспринимаются.

CWT сигнала обеспечивает сильно избыточное представление сигнала. Существует значительное перекрытие между вейвлетами внутри и между шкалами. Кроме того, учитывая точную дискретизацию шкал, стоимость вычисления CWT и хранения коэффициентов вейвлета значительно больше, чем DWT. MODWT modwt также является избыточным преобразованием, но коэффициент избыточности обычно значительно меньше, чем CWT. Избыточность имеет тенденцию усиливать характеристики сигнала и функции, которые вы хотите изучить, такие как пропуски или другие переходные события.

Если ваша работа требует представления сигнала с минимальной избыточностью, используйте wavedec. Если ваша работа требует избыточного представления, используйте modwt или modwpt.

Шумоподавление

Ортогональный вейвлет, такой как Symlet или Daubechies, является хорошим выбором для шумоподавления сигналов. Биортогональный вейвлет также может быть полезным для обработки изображений. Биортогональные вейвлет имеют линейную фазу, которая очень важна для обработки изображений. Использование биортогонального вейвлета не введет визуальные искажения в изображение.

  • Ортогональное преобразование не окрашивает белый шум. Если в качестве входного сигнала ортогонального преобразования предусмотрен белый шум, то выходом является белый шум. Выполнение DWT с биортогональным вейвлет вызывает белый шум.

  • Ортогональное преобразование сохраняет энергию.

The sym4 wavelet является вейвлет по умолчанию, используемый в wdenoise и Wavelet Signal Denoiser приложения. bior4.4 биортогональный вейвлет является вейвлет по умолчанию в wdenoise2.

Сжатие

Если ваша работа включает сжатие сигнала или изображения, рассмотрите использование биортогонального вейвлета. В этой таблице перечислены поддерживаемые биортогональные вейвлеты с компактной поддержкой.

Биортогональный вейвлетФункцииИмяПредставитель
Биортогональный сплайнКомпактная поддержка; симметричные фильтры; линейная фаза'biorNr.Nd' где Nr и Nd количество моментов исчезновения для фильтров реконструкции и разложения, соответственно; см. waveinfo('bior') для поддерживаемых значений

Обратный биортогональный сплайнКомпактная поддержка; симметричные фильтры; линейная фаза'rbioNd.Nr' где Nr и Nd количество моментов исчезновения для фильтров реконструкции и разложения, соответственно; см. waveinfo('rbio') для поддерживаемых значений

Иметь две пары масштабирование функция-вейвлет, одну пару для анализа и другую для синтеза, полезно для сжатия.

  • Биортогональные вейвлет являются симметричными и имеют линейную фазу. (См. «Наименее асимметричный вейвлет и фаза».)

  • Вейвлеты, используемые для анализа, могут иметь много моментов исчезновения. Вейвлет с N моментами исчезновения ортогональен полиномам степени N -1. Использование вейвлета с многими моментами исчезновения приводит к меньшему количеству значимых вейвлет-коэффициентов. Улучшено сжатие.

  • Двойные вейвлеты, используемые для синтеза, могут иметь лучшую регулярность. Восстановленный сигнал более плавен.

Использование анализирующего фильтра с меньшим количеством моментов исчезновения, чем синтезирующего фильтра, может негативно повлиять на сжатие. Для получения примера смотрите Реконструкцию изображений с биортогональными Вейвлетами.

При использовании биортогональных вейвлеты энергия не сохраняется на стадии анализа. Смотрите ортогональные и биортогональные банки фильтров для получения дополнительной информации.

Общие факторы

Вейвлеты имеют свойства, которые управляют их поведением. В зависимости от того, что вы хотите сделать, некоторые свойства могут быть более важными.

Ортогональность

Если вейвлет ортогональен, вейвлет-преобразование сохраняет энергию. Кроме вейвлета Haar, ни один ортогональный вейвлет с компактной поддержкой не симметричен. Связанный фильтр имеет нелинейную фазу.

Исчезающие моменты

Вейвлет с N моментами исчезновения ортогональен полиномам степени N − 1. Для получения примера смотрите Вейвлеты и Исчезающие моменты. Количество исчезающих моментов и колебания вейвлета имеют свободное соотношение. Когда количество моментов исчезновения увеличивается, чем больше колебания вейвлета.

Количество исчезающих моментов также влияет на поддержку вейвлета. Доубехи доказали, что вейвлет с N моментами исчезновения должен иметь поддержку как минимум длины 2 N -1.

Имена для многих вейвлеты получают из количества исчезающих моментов. Для примера, db6 вейвлет Daubechies с шестью исчезающими моментами и sym3 Симлет с тремя моментами исчезновения. Для coiflet вейвлетов, coif3 - койфлет с шестью моментами исчезновения. Для вейвлетов Фежера-Коровкина, fk8 - вейвлет Фежера-Коровкина с фильтром длиной 8. Биортогональные имена вейвлет получают из количества моментов исчезновения, которые имеют каждый вейвлет анализа и вейвлет синтеза. Для образца, bior3.5 - биортогональный вейвлет с тремя моментами исчезновения в синтезирующем вейвлете и пятью моментами исчезновения в анализирующем вейвлете. Чтобы узнать больше, смотрите waveinfo и wavemngr.

Если количество N моментов исчезновения равно 1, 2 или 3, то dbN и symN идентичны.

Регулярность

Регулярность связана с тем, сколько непрерывных производных имеет функция. Интуитивно регулярность может считаться мерой плавности. Чтобы обнаружить внезапное изменение данных, вейвлет должен быть достаточно регулярным. Чтобы вейвлет имел N непрерывные производные, вейвлет должен иметь по крайней мере N + 1 моментов исчезновения. См. пример в разделе «Обнаружение разрывов и точек разбиения». Если ваши данные относительно плавны с небольшим количеством переходных процессов, более регулярный вейвлет может быть лучше подходит для вашей работы.

Ссылки

[1] Daubechies, Ингрид. Десять лекций по вейвлетам. Общество промышленной и прикладной математики, 1992 год.

См. также

Приложения

Функции

Похожие примеры

Подробнее о