Документация

Последовательность вызовов

Синтаксис вызова для hjmtree является HJMTree = hjmtree(VolSpec, RateSpec, TimeSpec).

Точно так же синтаксис вызова для bdttree является BDTTree = bdttree(VolSpec, RateSpec, TimeSpec).

Каждая из этих функций требует VolSpec, RateSpec, и TimeSpec входные параметры:

Создание модели волатильности HJM

Функция hjmvolspec генерирует структуру VolSpec, который определяет процесс волатильности $$\sigma \left(t,T\right)$$ используется при создании передовых деревьев. В этом контексте T капитала представляет время запуска прямой скорости, а t представляет время наблюдения. Процесс волатильности может быть построен из комбинации факторов, последовательно заданных в вызове функции, которая создает его. Каждая спецификация фактора начинается с вектора символов, задающего имя фактора, за которым следуют соответствующие параметры.

Пример спецификации волатильности HJM.  Рассмотрим пример, который использует один коэффициент, в частности, коэффициент константы-сигмы. Спецификация постоянного фактора требует только один параметр, значение $$\sigma$$. В этом случае значение соответствует 0,10.

HJMVolSpec = hjmvolspec('Constant', 0.10)

HJMVolSpec = 

      FinObj: 'HJMVolSpec'
FactorModels: {'Constant'}
  FactorArgs: {{1x1 cell}}
  SigmaShift: 0
  NumFactors: 1
   NumBranch: 2
     PBranch: [0.5000 0.5000]
 Fact2Branch: [-1 1]

The NumFactors поле VolSpec структура, VolSpec.NumFactors = 1, показывает, что количество факторов, используемых для генерации VolSpec был один. The FactorModels поле указывает, что это Constant коэффициент и NumBranches поле указывает количество ветвей. Как следствие, каждый узел получившегося дерева имеет две ветви, одна идет вверх, а другая идет вниз.

Рассмотрим теперь процесс двухфакторной волатильности, полученный из пропорционального фактора и экспоненциального фактора.

% Exponential factor
Sigma_0 = 0.1;
Lambda = 1;
% Proportional factor
CurveProp = [0.11765; 0.08825; 0.06865];
CurveTerm = [   1   ;    2   ;    3   ];
% Build VolSpec
HJMVolSpec = hjmvolspec('Proportional', CurveProp, CurveTerm,...
1e6,'Exponential', Sigma_0, Lambda)

HJMVolSpec = 

      FinObj: 'HJMVolSpec'
FactorModels: {'Proportional'  'Exponential'}
  FactorArgs: {{1x3 cell}  {1x2 cell}}
  SigmaShift: 0
  NumFactors: 2
   NumBranch: 3
     PBranch: [0.2500 0.2500 0.5000]
 Fact2Branch: [2x3 double]

Этот выход показывает, что спецификация волатильности была сгенерирована с использованием двух факторов. Дерево имеет по три ветви на узел. Каждая ветвь имеет вероятности 0,25, 0,25 и 0,5, идущие сверху вниз.

Создание модели волатильности BDT

Функция bdtvolspec генерирует структуру VolSpec, который задает процесс волатильности. Функция требует трех входных параметров:

Необязательный четвертый аргумент InterpMethod, задающий метод интерполяции, может быть включен.

Синтаксис, используемый для вызова bdtvolspec является:

BDTVolSpec = bdtvolspec(ValuationDate, VolDates, VolCurve,... InterpMethod)

где:

Пример спецификации волатильности БДТ.  Рассмотрим следующий пример:

ValuationDate = datenum('01-01-2000');
EndDates = datenum(['01-01-2001'; '01-01-2002'; '01-01-2003'; 
'01-01-2004'; '01-01-2005']);
Volatility = [.2; .19; .18; .17; .16];

Использовать bdtvolspec чтобы создать спецификацию волатильности. Поскольку метод интерполяции явным образом не задан, функция использует linear по умолчанию.

BDTVolSpec = bdtvolspec(ValuationDate, EndDates, Volatility)

BDTVolSpec = 
             FinObj: 'BDTVolSpec'
      ValuationDate: 730486
           VolDates: [5x1 double]
           VolCurve: [5x1 double]
    VolInterpMethod: 'linear'

Пример создания спецификаций скорости

Рассмотрим следующий пример:

Compounding = 1;
Rates = [0.02; 0.02; 0.02; 0.02];
StartDates = ['01-Jan-2000';   
              '01-Jan-2001';  
              '01-Jan-2002';  
              '01-Jan-2003'];
EndDates =   ['01-Jan-2001'; 
              '01-Jan-2002';  
              '01-Jan-2003'; 
              '01-Jan-2004'];
ValuationDate = '01-Jan-2000';

RateSpec = intenvset('Compounding',1,'Rates', Rates,... 
'StartDates', StartDates, 'EndDates', EndDates,... 
'ValuationDate', ValuationDate)

RateSpec = 

        FinObj: 'RateSpec'
   Compounding: 1
          Disc: [4x1 double]
         Rates: [4x1 double]
      EndTimes: [4x1 double]
    StartTimes: [4x1 double]
      EndDates: [4x1 double]
    StartDates: [4x1 double]
 ValuationDate: 730486
         Basis: 0
  EndMonthRule: 1

Используйте функцию datedisp для изучения дат, определенных в переменной RateSpec. Для примера:

datedisp(RateSpec.ValuationDate)
01-Jan-2000

Создание спецификации времени

Вызов функций создания спецификаций времени с теми же данными, которые используются для создания структуры процентных ставок, RateSpec создает структуру, которая задает временное размещение для дерева.

Пример спецификации времени HJM.  Рассмотрим следующий пример:

Maturity = EndDates;
HJMTimeSpec = hjmtimespec(ValuationDate, Maturity, Compounding)

HJMTimeSpec = 

       FinObj: 'HJMTimeSpec'
ValuationDate: 730486
     Maturity: [4x1 double]
  Compounding: 1
        Basis: 0
 EndMonthRule: 1

Сроки, заданные при построении TimeSpec не обязательно совпадать с EndDates интервалов скоростей в RateSpec. Начиная с TimeSpec определяет отображение дерева на дату времени, скорости в RateSpec интерполируются, чтобы получить начальные ставки со сроками, равными значениям в TimeSpec.

Создание спецификации времени BDT.  Рассмотрим следующий пример:

Maturity = EndDates;
BDTTimeSpec = bdttimespec(ValuationDate, Maturity, Compounding)

BDTTimeSpec = 

           FinObj: 'BDTTimeSpec'
    ValuationDate: 730486
         Maturity: [4x1 double]
      Compounding: 1
            Basis: 0
     EndMonthRule: 1

Создание дерева HJM

% Reset the volatility factor to the Constant case
HJMVolSpec = hjmvolspec('Constant', 0.10);

HJMTree = hjmtree(HJMVolSpec, RateSpec, HJMTimeSpec)

HJMTree = 

  FinObj: 'HJMFwdTree'
 VolSpec: [1x1 struct]
TimeSpec: [1x1 struct]
RateSpec: [1x1 struct]
    tObs: [0 1 2 3]
    TFwd: {[4x1 double] [3x1 double] [2x1 double] [3]}
  CFlowT: {[4x1 double] [3x1 double] [2x1 double] [4]}
 FwdTree:{[4x1 double][3x1x2 double][2x2x2 double][1x4x2 double]}

Создание дерева BDT

Теперь используйте ранее вычисленные значения для VolSpec, RateSpec, и TimeSpec как вход в функцию bdttree для создания дерева BDT.

BDTTree = bdttree(BDTVolSpec, RateSpec, BDTTimeSpec)

BDTTree = 

  FinObj: 'BDTFwdTree'
 VolSpec: [1x1 struct]
TimeSpec: [1x1 struct]
RateSpec: [1x1 struct]
    tObs: [0 1.00 2.00 3.00]
    TFwd: {[4x1 double]  [3x1 double]  [2x1 double]  [3.00]}
  CFlowT: {[4x1 double]  [3x1 double]  [2x1 double]  [4.00]}
 FwdTree: {[1.02] [1.02 1.02] [1.01 1.02 1.03] [1.01 1.02 1.02 1.03]}

Древовидная структура HJM

Теперь можно детально изучить содержимое HJMTree структура, содержащаяся в этом файле.

HJMTree

HJMTree = 

  FinObj: 'HJMFwdTree'
 VolSpec: [1x1 struct]
TimeSpec: [1x1 struct]
RateSpec: [1x1 struct]
    tObs: [0 1 2 3]
    TFwd: {[4x1 double]  [3x1 double]  [2x1 double]  [3]}
  CFlowT: {[4x1 double]  [3x1 double]  [2x1 double] [4]}
 FwdTree:{[4x1 double][3x1x2 double][2x2x2 double][1x4x2 double]}

FwdTree содержит фактическое дерево скорости передачи. MATLAB представляет его как массив ячеек с каждым элементом массива ячеек, содержащим древовидный уровень.

Другие поля содержат другую информацию, относящуюся к интерпретации значений в FwdTree. Самые важные из них VolSpec, TimeSpec, и RateSpec, которые содержат информацию о волатильности, временной структуре и структуре скорости, соответственно.

Первый узел.  Наблюдайте форвардные скорости в FwdTree. Первый узел представляет дату оценки, tObs = 0.

HJMTree.FwdTree{1}

ans =

   1.0356
   1.0468
   1.0523
   1.0563

Присмотритесь к RateSpec структура, используемая при генерации этого дерева, чтобы увидеть, где берутся эти значения. Расположите значения в одном массиве.

[HJMTree.RateSpec.StartTimes HJMTree.RateSpec.EndTimes... 
HJMTree.RateSpec.Rates]

ans =

         0    1.0000    0.0356
    1.0000    2.0000    0.0468
    2.0000    3.0000    0.0523
    3.0000    4.0000    0.0563

При обнаружении соответствующих обратных скидок процентных ставок в третьем столбце значения указываются в первом узле дерева. Вы можете превратить процентные ставки в обратные скидки с помощью функции rate2disc.

Disc = rate2disc(HJMTree.TimeSpec.Compounding,... 
HJMTree.RateSpec.Rates, HJMTree.RateSpec.EndTimes,... 
HJMTree.RateSpec.StartTimes);
FRates = 1./Disc

FRates =
    1.0356
    1.0468
    1.0523
    1.0563

Второй узел.  Второй узел представляет время наблюдения первой скорости,   tObs = 1. Этот узел отображает два состояния: одно, представляющее ветвь, идущую вверх, и другое, представляющее ветвь, идущую вниз.

Обратите внимание, что HJMTree.VolSpec.NumBranch = 2.

HJMTree.VolSpec

ans = 

          FinObj: 'HJMVolSpec'
    FactorModels: {'Constant'}
      FactorArgs: {{1x1 cell}}
      SigmaShift: 0
      NumFactors: 1
       NumBranch: 2
         PBranch: [0.5000 0.5000]
     Fact2Branch: [-1 1]

Исследуйте скорости узла, соответствующего верхней ветви.

HJMTree.FwdTree{2}(:,:,1)

ans =

    1.0364
    1.0420
    1.0461

Теперь исследуйте соответствующую нисходящую ветвь.

HJMTree.FwdTree{2}(:,:,2)

ans =

    1.0574
    1.0631
    1.0672

Третий узел.  Третий узел представляет время второго наблюдения, tObs = 2. Этот узел содержит в общей сложности четыре состояния, два, представляющие ветви, идущие вверх, и два других, представляющих ветви, идущие вниз. Исследуйте скорости узла, соответствующие состояниям вверх.

HJMTree.FwdTree{3}(:,:,1)

ans =

    1.0317    1.0526
    1.0358    1.0568

Далее рассмотрим соответствующие состояния вниз.

HJMTree.FwdTree{3}(:,:,2)

ans =

    1.0526    1.0738
    1.0568    1.0781

Изоляция определенного узла.  Начиная с третьего уровня, индексация в массиве ячеек дерева становится комплексной, и изоляция определенного узла может оказаться трудной. Функция bushpath изолирует конкретный узел путем определения пути к узлу как вектора ветвей, принятых для достижения этого узла. В качестве примера рассмотрим узел, достигнутый путем запуска с корневого узла, взятия ветви вверх, затем ветви вниз, а затем другой ветви вниз. Учитывая, что дерево имеет только две ветви на узел, ветви, идущие вверх, соответствуют 1, и ветви, идущие вниз, соответствуют 2. Путь вверх-вниз становится вектором [1 2 2].

FRates = bushpath(HJMTree.FwdTree, [1 2 2])

FRates =

    1.0356
    1.0364
    1.0526
    1.0674

bushpath возвращает коэффициенты деления для всех узлов, обработанных путем, заданным в входной параметр, первым, соответствующим корневому узлу, и последним, соответствующим целевому узлу.

Изоляция того же узла с помощью прямого индексирования получает

HJMTree.FwdTree{4}(:, 3, 2)

ans =

    1.0674

Как ожидалось, это одно значение соответствует последнему элементу ставок, возвращаемых bushpath.

Можно использовать эти методы с любым типом дерева, сгенерированного с помощью Financial Instruments Toolbox, таким как деревья форвардных ставок или деревья цен.

Древовидная структура BDT

Теперь можно детально изучить содержимое BDTTree структура.

BDTTree 

BDTTree = 

      FinObj: 'BDTFwdTree'
     VolSpec: [1x1 struct]
    TimeSpec: [1x1 struct]
    RateSpec: [1x1 struct]
        tObs: [0 1.00 2.00 3.00]
        TFwd: {[4x1 double]  [3x1 double]  [2x1 double]  [3.00]}
      CFlowT: {[4x1 double]  [3x1 double]  [2x1 double]  [4.00]}
     FwdTree: {[1.10]  [1.10 1.14]  [1.10 1.14 1.19]  [1.09 1.12 1.16 1.22]}

FwdTree содержит фактическое дерево скоростей. MATLAB представляет его как массив ячеек с каждым элементом массива ячеек, содержащим древовидный уровень.

Другие поля содержат другую информацию, относящуюся к интерпретации значений в FwdTree. Самые важные из них VolSpec, TimeSpec, и RateSpec, которые содержат информацию о волатильности, временной структуре и структуре скорости, соответственно.

Посмотрите на RateSpec структура, используемая при генерации этого дерева, чтобы увидеть, где берутся эти значения. Расположите значения в одном массиве.

[BDTTree.RateSpec.StartTimes BDTTree.RateSpec.EndTimes... 
BDTTree.RateSpec.Rates]

ans =

         0    1.0000    0.1000
         0    2.0000    0.1100
         0    3.0000    0.1200
         0    4.0000    0.1250

Посмотрите на ставки в FwdTree. Первый узел представляет дату оценки,   tObs = 0. Второй узел представляет   tObs = 1. Исследуйте скорости во втором, третьем и четвертом узлах.

BDTTree.FwdTree{2}  

ans =

      1.0979    1.1432

Второй узел представляет первое время наблюдения,   tObs = 1. Этот узел содержит в общей сложности два состояния, одно представляет ветвь, идущую вверх (1.0979) и другой, представляющий ветвь, идущую вниз (1.1432).

BDTTree.FwdTree{3}

ans =

    1.0976    1.1377    1.1942

Третий узел представляет время второго наблюдения, t   Obs = 2. Этот узел содержит в общей сложности три состояния, одно представляет ветвь, идущую вверх (1.0976), представляющий ветвь посередине (1.1377) и другой, представляющий ветвь, идущую вниз (1.1942).

BDTTree.FwdTree{4}

ans =

    1.0872    1.1183    1.1606    1.2179

Четвертый узел представляет третье время наблюдения,   tObs = 3. Этот узел содержит в общей сложности четыре состояния, одно представляет ветвь, идущую вверх (1.0872), две, представляющие ветви посередине (1.1183 и 1.1606), и другой, представляющий ветвь, идущую вниз (1.2179).

Изоляция определенного узла.  Функция treepath изолирует конкретный узел путем определения пути к узлу как вектора ветвей, принятых для достижения этого узла. В качестве примера рассмотрим узел, достигнутый путем запуска с корневого узла, взятия ветви вверх, затем ветви вниз и, наконец, другой ветви вниз. Учитывая, что дерево имеет только две ветви на узел, ветви, идущие вверх, соответствуют 1, и ветви, идущие вниз, соответствуют 2. Путь вверх-вниз становится вектором   [1 2 2].

FRates = treepath(BDTTree.FwdTree, [1 2 2]) 

FRates =

    1.1000
    1.0979
    1.1377
    1.1606

treepath возвращает короткие скорости для всех узлов, обработанных путем, заданным в входной параметр, первый, соответствующий корневому узлу и последний, соответствующий целевому узлу.

Древовидные структуры HW и BK

Древовидные структуры HW и BK аналогичны древовидной структуре BDT. Это можно увидеть, если изучить выборку дерева аппаратных средств, содержащийся в файле deriv.mat.

load deriv.mat;
HWTree

HWTree = 

      FinObj: 'HWFwdTree'
     VolSpec: [1x1 struct]
    TimeSpec: [1x1 struct]
    RateSpec: [1x1 struct]
        tObs: [0 1.00 2.00 3.00]
        dObs: [731947.00 732313.00 732678.00 733043.00]
      CFlowT: {[4x1 double]  [3x1 double]  [2x1 double]  [4.00]}
       Probs: {[3x1 double]  [3x3 double]  [3x5 double]}
     Connect: {[2.00]  [2.00 3.00 4.00]  [2.00 2.00 3.00 4.00 4.00]}
     FwdTree: {[1.03]  [1.05 1.04 1.02]  [1.08 1.07 1.05 1.03 1.01]  [1.09 1.08 1.06 1.04 1.02]

Все поля этой структуры аналогичны их аналогам BDT. В BDT отсутствуют два дополнительных поля: Probs и Connect. The Probs поле представляет вероятности вхождения в каждой ветви каждого узла в дереве. The Connect в поле описывается связь узлов заданного уровня дерева с узлами следующего уровня дерева.

Probs Поле.  В то время как модели BDT и однофакторного HJM имеют равные вероятности для каждой ветви в узле, HW и BK не имеют. Для деревьев HW и BK, Probs поле указывает вероятность того, что конкретная ветвь будет перемещаться от одного узла к другому на следующем уровне.

The Probs поле состоит из массива ячеек с одной камерой на уровень дерева. Каждая камера является 3-by- NUMNODES массив с верхней строкой, представляющей вероятность движения вверх, средней строкой, представляющей вероятность движения посередине, и последней строкой вероятность движения вниз.

В качестве иллюстрации рассмотрим первые два элемента Probs поле структуры, соответствующее первому (корневому) и второму уровням дерева.

HWTree.Probs{1}

0.16666666666667
0.66666666666667
0.16666666666667

HWTree.Probs{2}

0.12361333418768   0.16666666666667   0.21877591615172
0.65761074966060   0.66666666666667   0.65761074966060
0.21877591615172   0.16666666666667   0.12361333418768

Чтение сверху вниз, значения в HWTree.Probs{1} соответствуют вероятностям вверх, посередине и вниз в корневом узле.

HWTree.Probs{2} является 3-by- 3 матрица значений. Первый столбец представляет верхний узел, второй - средний, а последний - нижний. Как и в случае с корневым узлом, первая, вторая и третья строки удерживают значения для вверх, посередине и вниз, отходя от каждого узла.

Как ожидалось, сумма всех вероятностей в любом узле равна 1.

sum(HWTree.Probs{2})

1.0000    1.0000    1.0000

Соедините поле.  Другое поле, которое отличает древовидные структуры HW и BK от древовидной структуры BDT, Connect. В этом поле описывается, как каждый узел на данном уровне соединяется с узлами следующего уровня. Необходимость в этом поле возникает из-за возможности нестандартного ответвления в дереве.

The Connect поле древовидной структуры HW состоит из массива ячеек с одной камерой на уровень дерева.

HWTree.Connect

ans = 

    [2]    [1x3 double]    [1x5 double]

Каждая камера содержит 1-by- NUMNODES вектор. Каждое значение в векторе относится к узлу на соответствующем уровне дерева и представляет индекс узла на следующем уровне дерева, с которым соединяется средняя ветвь узла.

Если вы вычитаете 1 из значений, содержащихся в Connect, вы раскрываете индекс узлов на следующем уровне, с которым соединяется верхняя ветвь. Если вы добавляете 1 к значениям отображается индекс соответствующей нисходящей ветви.

В качестве иллюстрации рассмотрим HWTree.Connect{1}:

HWTree.Connect{1}

ans =

     2

Это указывает, что средняя ветвь корневого узла соединяется со вторым (от верхней части) узлом следующего уровня, как и ожидалось. Если вычесть 1 из этого значения вы получаете 1, что говорит вам, что ветвь вверх переходит к верхнему узлу. Если вы добавляете 1, вы получаете 3, который указывает на последний узел второго уровня дерева.

Теперь рассмотрим уровень 3 в этом примере:

HWTree.Connect{3}

2     2     3     4     4

На этом уровне происходит нестандартное ответвление. Это может быть легко распознано, потому что средняя ветвь двух узлов соединяется с одним и тем же узлом на следующем уровне.

Чтобы визуализировать это, рассмотрите следующий рисунок дерева.

Здесь становится очевидным, что существует нестандартное ответвление на третьем уровне дерева, на верхнем и нижнем узлах. Первый и второй узлы соединяются с одним и тем же трио узлов на следующем уровне. Подобное ответвление происходит в нижнем и следующем узлах дерева.